내접 정사각형 문제 Inscribed square problem

임의의 평면 Jordan curve (즉, plane simple closed curve)가 주어질 때, 정사각형의 네 꼭지점이 되는 curve 위의 네 점을 항상 찾을 수 있는가? 하는 문제가 있다고 한다. Inscribed square problem인데, 아직까지 미해결이라고 한다.

여기까지는 뭐 산처럼 많은 미해결들 중의 하나인데, 조건을 정사각형에서 직사각형으로 조금 완화하면 항상 가능하다. 더구나 증명도 무척 간단하다!!! 이 문제를 쌈빡하게 증명을 할 뿐만 아니라, 수학을 잘 모르는 사람까지도 증명을 이해할 수 있도록 만든 매우매우매우 훌륭한 영상을 발견하였으므로 포스팅해본다. ㅋㅋㅋ

매우 친절하게도 자막까지 있으니, 자막을 켜면 리스닝이 안 돼도 대충 볼 수 있다. 이야 친절 그 자체다 ㅋㅋㅋㅋ

수학을 알지만 영상은 보기 귀찮은 사람을 위해 요약을 하면 다음과 같다.

 


Jordan curve위의 점과 interval [0,1) 과의 자연스러운 continuous mapping을 생각할 수 있고, [0,1)x[0,1)과 torus와의 canonical mapping도 당연히 있으므로, Jordan curve위의 임의의 ordered pair는 torus위의 한 점과 자연스럽게 대응된다. 뭐 이건 상식. ㅋ

한편 [0,1)x[0,1)에서 unordered pair는 [0,1)x[0,1)을 반으로 접어 직각이등변삼각형으로 만들면 되는데, 이 때 identification이 되는 (즉, 꿰메는) 두 boundary를 붙이면 Möbius strip이 된다. 여기서 주목할 점은 대각선 (x,x)에 있는 점은 Möbius strip의 boundary라는 부분이다.

Jordan curve위의 직사각형을 이루는 네 점을 찾는 문제는, Jordan curve위의 두 점을 이어 만든 선분들 중 중점이 일치하고 길이가 같은 두 선분을 찾는 문제와 같다. 주어진 Jordan curve 위의 가능한 모든 선분의 중점들에서 각각 위쪽 방향으로 선분의 길이와 같은 z좌표를 넣어, Jordan curve를 boundary로 하는 곡면을 생각할 수 있다. 이 곡면이 homeomorphic하게 구면과 같은 지, 아니면 자기자신과 겹치는 점이 있는지를 통해 직사각형의 존재여부를 확인할 수 있다.

모든 Jordan curve의 선분들은 unordered pair이므로 Möbius strip위의 모든 점과 자연스러운 bijection이 생기는데, 이 map에서 unordered pair {x,x}는 곡면의 boundary이자 동시에 Möbius strip의 boundary의 한 점이 되므로 이 문제는 Möbius strip의 boundary를 Jordan curve위에 꿰메는 문제가 된다. 이것은 자신이 겹치지 않으면 3차원에서 불가능하므로 항상 존재한다! ㅋㅋ

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