골드바흐 추측을 향하여 part 2-1 : The integral over the major arcs

이 포스트는 시리즈 포스팅으로 2013년에 작성을 하다가 중단한 것인데, 영원히 완성할 수 없을 듯 하니, 미완성인 채로 그냥 포스트함.

 


0. definition >
먼저 우리가 적분하려는 arc 내부의 식과 비스무리하게 생긴 식을 만들기 위해 u(\beta)J(N)을 다음과 같이 정의해보자.

\displaystyle u(\beta)=\sum_{m=1}^{N}e(m\beta),\qquad J(N) = \int_{-1/2}^{1/2}u(\beta)^3 e(-N\beta)d\beta

1. lemma >

\displaystyle J(N) = \binom{N-1}{2}

1-1. proof of lemma 1 >

\displaystyle \begin{aligned}J(N) & =\int_{-1/2}^{1/2}u(\beta)^3 e(-N\beta)d\beta \\ & =\int_{-1/2}^{1/2}\sum_{m_1 = 1}^{N}\sum_{m_2 = 1}^{N}\sum_{m_3 = 1}^{N}e((m_1 + m_2 + m_3 -N)\beta)d\beta \\ & =\binom{N-1}{2} \end{aligned}

막판에 등식이 성립하는 이유는 m_1 + m_2 + m_3 -N이 영이면 적분값이 1이 되는데, 이 값이 영이 아니면 적분값이 0이 되기 때문이다. 그러므로 한 자연수를 세 자연수로 토막내는 경우의 수를 세는 문제가 된다.

정리도 증명도 무미건조한 이 정리를 소개하는 이유는 뭘까? 지금은 곤란하다. 조금만 기다려달라. ㅋ

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