참인 명제와 증명가능한 명제의 차이

일전에 이야기한 Richard Zach 선생의 책[1]을 쓸데없이 보고-_- 있는데, 아무 설명도 없이 기호 ⊦, ⊨가 초반부터 난데없이 등장한다. 아니 이거 교재가 뭐 이래-_- 싶어서 검색을 쭉 해 봤는데, 아무래도 너무 흔하게 쓰는 기호라서 특별히 설명을 안 한듯…-_-

\vdashTurnstile, \vDashDouble turnstile이라고 부르는 듯 하다. 어느 가정의 집합 \Sigma 내에서 명제 \Phi가 증명가능할 때 \Sigma \vdash \Phi가 되는거고, 가정 집합 \Sigma 내에서 명제 \Phi가 참일 때 \Sigma \vDash \Phi가 된다고 한다.

아니 이게 무슨 차이가 있는가? 점점 더 복잡해지는데, math stackexchange에 이미 초 많은 유사한 질문들[2,3,4,5]이 있었다-_-

본인이 이해하기로는, 어떤 논리적 체계가 제대로 구성되지 않아서 거짓인 명제를 증명할 수도 있고, 참인 명제를 증명하지 못할 수도 있는 경우를 생각하는 것 같다. 어떤 논리 시스템이 거짓인 명제를 절대로 증명할 수 없는 특징을 가질 때, soundness를 가진다고 말하고, 어떤 논리 시스템이 참인 명제를 항상 증명할 수 있을 때, completeness를 가진다고 말하는 듯.

물론 가장 이상적인 논리 시스템은 soundness와 completeness를 동시에 갖추는 것이다. 근데 그게 잘 안 되는 듯. ㅋㅋ [5]에 답글을 단 사람이 설명을 제일 잘 하는 것 같다.

 


[1] 내 백과사전 괴델의 불완전성 정리에 대한 새 교재 2017년 3월 5일
[2] Implies vs. Entails vs. Provable in math stackexchange
[3] What’s the difference between “→” (implication) and “⊢” (therefore)? in math stackexchange
[4] What is the meaning of the double turnstile symbol (⊨)? in math stackexchange
[5] What is the difference between Completeness and Soundness in first order logic? in math stackexchange

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