그렉 이건 선생이 그린 SU(3)의 그림자

하드 SF를 좋아하면 대부분 아실 이름인 그렉 이건 선생의 구글 플러스에서 SU(3)의 그림자에 대한 설명이 나와 있는데[1,2] 뭔 소린가 싶어서 한참 읽어봤다-_- 참고로 SU(3)는 물리학과 무슨 깊은 연관이 있는 모양이라 물리학자들의 글에서 자주 나오긴하는데, 무슨 연관이 있는지는 당췌 모르겠다 ㅋ 일전에 이야기[3]한 애니메이션 ‘버나드양 가라사대‘ 2편에서도 그렉 이건 선생의 작품이 언급된다. ㅋ

SU(3)는 complex number가 entry인 3×3 행렬집합의 부분집합인데, determinant가 1이고 unitary matrix(conjugate transpose를 하면 자신의 inverse가 되는 행렬) 행렬집합이다. 이 행렬들은 eigenvalue가 모두 complex plane 위의 unit circle 위에 놓인다.[4] 게다가 determinant가 1이므로 그 세 eigenvalue의 곱도 1이 된다. 전체 SU(3)의 각각의 원소에 대해 세 eigenvalue의 합들의 자취는 complex plane 위에서 Deltoid curve가 된다는 이야기를 하고 있다. 이것을 SU(3)의 원소를 complex plane 위에 projection이라고 생각하면, 그렉 이건 선생의 말 그대로 ‘SU(3)의 그림자’가 되는 것이다. 그 그림이 [1]에 나온다.

아씨~ 그런데 왜 그런지 도무지 이해가 되지 않는구만-_- 일단 세 eigenvalue의 곱이 항상 1이므로 두 eigenvalue가 결정되면 세 번째는 자동으로 결정된다. 따라서 첫 번째 eigenvalue가 unit circle에 있다 치면 두 번째 eigenvalue는 unit circle 위의 한 점을 중심으로 한 반지름 1인 원이 된다. 만약 이 두 eigenvalue가 똑같은 값이라면 세 번째 eigenvalue는 시계방향으로 두 eigenvalue의 phase angle의 두 배가 되므로 Deltoid curve의 boundary가 되는 것 까지는 알겠는데, 내부를 완전히 채울 수 있는지를 어떻게 증명하는지 도통 알 길이 없다-_-

한편 본인은 Clifford torus라는 걸 처음 들었는데, SU(3)의 projection과 무슨 상관인지도 모르겠다. ㅋ

아무튼 그렉 이건 선생의 sns는 넘 빡시다는 결론-_- 걍 소설이나 읽읍시다. ㅋ

 


[1] https://plus.google.com/113086553300459368002/posts/BuWJ9eR9Qnw
[2] https://plus.google.com/113086553300459368002/posts/M9oYhoApTxR
[3] 내 백과사전 애니메이션 ‘버나드양 가라사대(バーナード嬢曰く)’에 등장하는 소설 목록 2017년 3월 2일
[4] Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1 in math stackexchange

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