흥미로운 디오판토스 방정식

해커뉴스[1]에 흥미로운 디오판토스 방정식이 언급되어 있어 포스팅해 봄. ㅋ


나름 퍼즐 문제 좀 잘 푼다고 생각하는 일반인들을 낚기 위해 귀여운 과일 이미지까지 동원하는 이런 사악한-_- 짤방이 돌아다니는 모양인데, 좀 더 수학스러운 형태로 표현하자면 다음과 같다.

\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4의 자연수 해를 구하시오.

경시대회 문제를 자주 봐 왔다면 다음과 같은 표현이 더 친숙할 듯 하다.

\displaystyle \sum_{cyc}\frac{a}{b+c} =4의 자연수 해를 구하시오.

그러나 많은 디오판토스 방정식이 그렇듯이, 보기 쉬워 보인다고 풀기도 쉬운 것은 아니다. ㅋㅋㅋㅋ 들어올 때는 마음대로였겠지만 나갈 때는 아니란다. ㅋㅋ

본인도 쓸데없이 잠깐 풀이를 생각좀 하다가 해설[2]을 봤는데…. 이런…. 똥 밟을 뻔 했다-_- 타원 곡선이 동원되고 난리도 아니구만-_- 참고로 위 방정식의 가장 작은 자연수해는 다음과 같다고 한다.

a = 437361267792869725786125260237139015281653755816161361862143‌​7993378423467772036
b = 368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831‌​37471637224634055579‌
c = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026‌​63489825320203527799‌​9

이거 일전에 세 개의 세제곱수 이야기[3]보다 더 심한거 아닌가? 켁.

4가 아닌 일반적인 값 N에 대한 논의는 2014년의 Bremner와 MacLeod의 논문[4]에 있다. math overflow에도 관련 이야기[5]가 있다. 논문[4]에는 N이 홀수일 때는 자연수해가 없음을 증명하고 있고, 논문 뒤쪽[4;p38]에 N의 값이 각종 짝수일 경우 최소해들의 자리수가 천자리가 넘는 경우를 소개하고 있다. 특히 N=178인 경우 3억9천만 자리가 넘는다고…..-_-

 


2017.8.8
Baez선생도 한 마디 하는 듯… [6] ㅋㅋ

 


[1] https://news.ycombinator.com/item?id=14943528
[2] How do you find the integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4? in Quora
[3] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[4] A. Bremner and A. Macleod, “An unusual cubic representation problem”, Ann. Math. Inform. 43 (2014), 29-41.
[5] Estimating the size of solutions of a diophantine equation in mathoverflow
[6] https://plus.google.com/+johncbaez999/posts/Pr8LgYYxvbM

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3 thoughts on “흥미로운 디오판토스 방정식

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