prime gap과 Jumping champion

정수론에서 prime gap과 관련된 썰-_-들이 많은데, 개략적인 정보는 일전에 올려둔 타오 선생의 강연 영상[1]을 참고하기 바란다.

여하간 주어진 n이하의 prime들 사이의 prime gap 중에서 출현 빈도수가 가장 높은 값을 jumping champion[2]이라고 부르는 모양인데, 나는 처음 듣는 용어다. 유래를 보아하니 역시나 잡기에 능한(?) 콘웨이 선생의 작품인 듯.[2] ㅋㅋㅋ

John Baez 선생의 구글 플러스[3]를 보니 jumping champion에 대한 이야기가 나오길래, 나도 블로그 포스팅 함 해봄. ㅎㅎㅎ 참고로 Mind the gap이라는 표현은 런던 지하철의 승강장과 지하철 사이의 틈을 조심하라는 표현인데, 일전에 이야기한 적[4]이 있다. ㅋ

극초반의 예외를 제외하면 jumping champion의 값은 6으로 고정되는데, 6의 특성상 충분히 이해가 되는 부분이다. 물론 점진적으로 prime density가 낮아지므로 평균적으로 prime gap이 넓어지고, 따라서 jumping champion의 값이 변해야 마땅한데, 언제 어떤 값으로 변할 건지가 관건이다. 여러가지 수치적 정보를 토대로 이를 추정하는 글[5]이 있는 모양인데, jumping champion이 6에서 30으로 변경되는 위치는 대략 다음 값으로 추정된다고 한다.

174270000000000000000000000000000000 = 1.7427 ⋅ 1035

헐… 또 천하에 쓸데없이-_- 큰 수가 나오는 게, 일전의 메르텐스 추측[6]이 생각나는구만. ㅎ prime density가 생각보다는 빠르게 떨어지지 않는 모양이다.

원래 연구[5]에서는 maple의 isprime 함수를 사용했다고 하는데, 사실 이 함수는 Miller-Rabin Test를 이용하므로 이론적으로 완벽하게 소수를 판정하는 함수는 아니다. 다만 10100이내에서 반례를 찾을 수 없다는 연구를 소개하는 사이트를 봤었는데[7], 도통 찾을 수가 없네…-_- 여하간 이 연구[5]에 영향을 줄 정도는 아닐 것이 확실하다.

최초 prime들의 곱을 Primorial이라 하는데, 왠지 느낌상 앞으로 jumping champion은 Primorial이 될 것 같은 느낌이 든다. 이걸 Hardy-Littlewood prime k-tuple conjecture를 가정해서 증명한 연구[8]도 있긴 하던데, 무슨 말인지는 하나도 모르겠음-_-

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[1] 내 백과사전 타오의 prime gap 강의 2015년 4월 25일
[2] Jumping Champion (mathworld.wolfram.com)
[3] https://plus.google.com/+johncbaez999/posts/LpbzuUQaEsF
[4] 내 백과사전 새로운 런던 지하철 노선도 2011년 7월 6일
[5] Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein & Marek Wolf (1999) Jumping Champions, Experimental Mathematics, 8:2, 107-118, DOI: 10.1080/10586458.1999.10504393
[6] 내 백과사전 메르텐스 추측과 리만 가설 2010년 3월 8일
[7] http://zariski.egloos.com/2382504
[8] D. A. Goldston, A. H. Ledoan, “The jumping champion conjecture”, arXiv:1102.4879 [math.NT]

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