‘유씨구고술요도해’의 한 페이지 해설

유씨구고술요도해(劉氏勾股述要圖解)는 조선후기 천문역법학자인 남병길이 저술한 책이다. 그 중 한 페이지를 사단법인 전국수학교사모임 회지에서 설명[1]하고 있어 이를 옮겨 둔다. 본 내용 자체는 구 블로그에 있던 내용을 재구성함.

피타고라스의 정리를 조선시대에는 ‘구고술’이라 불렀기 때문에, 책 제목 자체는 ‘그림이 첨부된 유씨의 피타고라스 정리 해설’ 정도의 의미 같다. 책 제목에 ‘유씨’가 붙은 이유는 남병길 자신도 스스로 창안한 내용이 아니라 ‘유씨’의 저작물이기 때문이라고 한다.[2] 유씨는 유수석(劉壽錫)이라고 추측된다. 유수석은 1713년 5월 29일 조선을 방문중이었던 중국의 산학자인 하국주의 수학문답에 홍정하와 함께 참여한 것으로 전해진다. ‘의령’은 남병길의 본관이라고 함.

劉氏勾股述要圖解 宜寧 南秉吉 圖解
유씨구고술요도해 의령 남병길 도해
그림이 첨부된 유씨의 피타고라스 정리 해설. 의령 남병길이 그림을 넣음.

勾六十七尺二寸股七十五尺四寸問弦
구육십칠척이촌고칠십오척사촌문현
구가 67척 2촌이고, 고가 75척 4촌인 구고의 현은 얼마인가? (밑변의 길이가 67.2이고, 높이가 75.4인 직각삼각형에서 빗변의 길이는 얼마인가?)

答弦一百零一尺
답현일백영일척
답은 101척이다. (672, 754, 1010은 피타고라스 트리플임)

術曰勾股相乘倍之加入勾股差自乘爲實平方除卽弦
술왈구고상승배지가입구고차자승위실평방제즉현
풀이에 이르기를, 구와 고를 서로 곱한 후 그것의 2배에서 구고의 차를 제곱하여 더하라. 이때 얻어진 값의 양의 제곱근이 현이 된다. (요즘 말로 하면 \sqrt{2ab +(a-b)^2} = \sqrt{a^2 +b^2})

古法曰勾股各自乘倂之平方除卽弦
고법왈구고각자승병지평방제즉현
옛방법에 이르기를, 구와 고를 각각 제곱하여 더한 후 제곱근을 구하면 현이 된다. (요즘 말로 하면 직각을 낀 두 변의 제곱의 합의 제곱근은 빗변이다.)

圖解甲乙丙丁爲弦自乘方內容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積卽勾股相乘積二段戊己庚辛一勾股差自乘方故勾股相乘積倍之又加勾股差自乘積爲弦自乘積也
도해갑을병정위현자승방내용갑무을을기병병경정정신갑사구고적즉구고상승적이단무기경신일구고차자승방고구고상승적배지우가구고차자승적위현자승적야
그림으로 풀어 설명하면 다음과 같다. 그림에서 정사각형 갑을병정의 넓이는 현의 제곱과 같다. 정사각형 모양 안에는 4개의 직각삼각형 갑무을, 을사병, 병경정, 정신갑이 있다. 이 4개의 직각삼각형의 녋이는 구와 고를 곱한 것의 2배(직각삼각형 4개를 모으면 2개의 직사각형 모양이 된다) 이다. 또 정사각형 무기경신의 넓이는 구고의 차를 제곱한 것과 같다. 따라서 구와 고를 곱하여 그 2배한 것에 구고의 차를 제곱한 것을 더하면 현의 제곱이 된다.

이런걸 보면 현대의 대수적 표현법이 얼마나 강력한 표기법인지 새삼느끼게 된다. 문장으로 방정식을 풀고 인수분해를 하는 것의 난해함은 굳이 설명할 필요가 없으리라. 남병길은 1820년에 출생하여 1869년에 사망하였으므로 위 내용은 1850~60년대 근방에 쓰여진 것이 아닐까 싶다. 1869년 하버드 입시문제[3]와 비교해보는 것도 재미있다.

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[1] 사단법인 전국수학교사모임, “수학과 교육”, 통권67호, 2008년 3/4월호
[2] 유씨구고술요도해(劉氏勾股述要圖解) (encykorea.aks.ac.kr)
[3] 내 백과사전 1869년 Harvard 입학시험문제 2011년 4월 12일

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