73은 유일한 쉘든 소수다

해커 뉴스[1]에서 일전에 이야기한[2] 페르마 도서관에 올라온 쉘든 소수에 관한 글[3]이 나와 있어서 좀 읽어봤다. 근데 와 은근 빡시네-_-

일단 빅뱅 이론이라는 시트콤이 뭔지 알아야 되는데, 뭐 여기 방문하시는 분들은 대부분 본 적이 있을 듯. 73번째 에피소드에 이런 내용이 있다. 재생시간 1분 50초

쉘든은 73이 21번째 소수이고 37은 12번째 소수이고, 7×3=21 등등의 성질을 이야기하는데, 이에 영감을 받아서 Byrnes 등은 이런 성질의 소수가 또 있는지에 대한 언급[4]을 하는 내용이다. 좀 더 뽀대나게 설명해보면,

n번째 소수를 p(n)이라 쓰고, 십진법으로 자리를 뒤집는 operator를 m(n)이라 쓰자. m(p(n))=p(m(n))을 만족하는 소수 p(n)은 거울성질(mirror property)을 가지고 있다고 정의하고, 십진법으로 자리수의 곱을 Π(n)이라 표기하면 Π(p(n))=n이 되는 소수 p(n)은 곱성질(product property)을 가지고 있다고 정의하자. 거울성질과 곱성질을 모두 가진 소수를 쉘든 소수라 하자. 쉘든 소수는 73이외에 더 있는가?

2015년에 제시되었으니 몇 년 된 추측인데, 딱 보자마자 직관적으로 성질을 만족하는 수가 별로 없을 듯해 보인다. 일전에 뒤집어 처음의 배수가 되는 이야기[5]도 했지만, 이런 교묘한 성질은 자리수가 늘어나면 늘어날수록, 조건을 만족하는 가능한 경우의 수가 급속히 줄어들 것이다.

근데 내 생각대로 얼마전에 그 증명[6]이 제시된 것 같다. 근데 위키피디아의 73 항목monthly에 있다고 나와 있는데, 실제로 monthly의 출판 목록[9]을 확인해보면, 앞뒤로 찾아봐도 이 기사[6]가 없다. 아놔… 이유는 모르겠음. 여하간 대충 그 내용을 봤는데, 뜬금없이 다음과 같은 부등식으로 시작한다.

17보다 큰 모든 x에 대하여 \displaystyle \pi(x) > \frac{x}{\log x}이 성립한다.

음?? 충분히 큰 수에 대해서는 성립하는줄 아는데, 17부터 부등식이 성립하는지 어떻게 알았지??? 물론 여기서 π는 prime counting function이다. 원문[6]에는 Rosser & Schoenfeld[7]를 보라고 돼 있던데, 직접보니, 큰 수들은 bound를 이용하고 작은 수들은 컴퓨터를 이용하여 직접 확인한 것 같다. 참고로 Rosser & Schoenfeld[7]의 앞부분에는 integration by part를 이용하여 오차항을 줄이는 재미있는 테크닉이 소개되어 있는데, 일전에 이야기한 내용[8]과 유사하다. ㅎㅎㅎ 어쨌든 이 부등식을 이용하여, 자리수에 9자가 많다고 가정해도 거울성질을 가진 소수는 1045를 넘을 수 없다는 것을 보인다.

일단 컴퓨터로 10억정도까지는 쉽게 커버가 가능하지만, 컴퓨터로도 1045은 좀 빡센 범위다. 이 정도 자리수의 모든 소수를 쉽게 슥슥 다루기는 쉽지 않다. PNT 등으로, 알려진 큰 소수들의 bound를 이용하여 n번째 소수의 범위를 좁히면 앞쪽의 열몇 자리 정도의 숫자가 결정된다. 10억 이상의 쉘든 소수가 존재한다면 만족해야 하는 여러가지 조건들을 이용하여 후보를 좁히는 것 같다. 그 뒤로 열라 재미없는-_- 계산노가다 이후 컴퓨터로 커버하여 확인한 것 같다.

여하간 그래서 쉘든 소수는 73밖에 없다는 거. 근데 개인적으로는 5318008이 최고라는 Raj의 의견에 동의함-_- ㅋㅋㅋㅋㅋ

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[1] The Sheldon Conjecture (hacker news)
[2] 내 백과사전 새로 생긴 수학 사이트 두 개 2015년 9월 16일
[3] the Sheldon Conjecture (fermatslibrary.com)
[4] Byrnes, J., Spicer, C., Turnquist, A. (2015). The Sheldon conjecture. Math Horizons. 23(2): 12–15. doi:10.4169/mathhorizons.23.2.12
[5] 내 백과사전 거꾸로 뒤집어 처음의 배수가 되는 수 2011년 10월 30일
[6] Pomerance, Carl; Spicer, Chris (April 2019). “Proof of the Sheldon conjecture”. Amer. Math. Monthly.
[7] Rosser, J. B., Schoenfeld, L. (1962). Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 6: 64–94.
[8] 내 백과사전 Euler–Maclaurin formula를 이용한 오차항 줄이기 2011년 1월 9일
[9] The American Mathematical Monthly (tandfonline.com)

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