Tao 선생에 의한 Collatz 추측의 부분적인 진보

술먹고-_- 뭔가 블로그에 글을 쓸만한 이야기 거리가 없을까 싶어서 검색해보면, 늘 한 개씩 나온다. ㅋㅋㅋㅋ

오늘 딱 보니, 콴타 매거진 기사[1]에 Collatz 추측에 대한 최근의 뉴스가 실려 있다. Tao 선생께서 뭔가 한 껀 하신 듯?[2]

이 글을 읽는 사람 중에 Collatz 추측이 뭔지 모르시는 분은 아마 없을 것이라 생각하지만, 노파심에 설명해보자면, 주어진 임의의 자연수 N에 대해…. 아니 N은 너무 크니 k로 합시다. ㅋㅋㅋ[3]

간단히 말해, 아무 자연수 k를 잡아서 k가 홀수면 3k+1, 짝수면 k/2를 반복하다보면 언젠가 반드시 1이 될 것 같다 하는 추측이다. 어느 사이트의 주장에 따르면, 분산컴퓨팅으로 약 1020 근처까지 1로 가는 걸 확인했다고 한다.[4] 나도 어릴 때, 프로그래밍 연습삼아서 10100 근처 숫자들을 확인해보곤 했던 기억이 난다. 뭐 근데, Skewes 수라든지, 정수론에서는 큰 수에서 반례가 나오는 사례를 원체 많이 봐 놓으니[5,6], 전혀 안심이 안 된다. ㅋㅋ

여하간 타오 선생께서 “거의 모든” 자연수에 대해, 이 Collatz 수열의 최소값이 무한대로 발산하는 임의의 함수의 함수값보다도 항상 작거나 같다는 결과를 증명한 듯하다. 즉, N에 대한 Collatz 수열의 최소값을 Colmin(N)이라 하면, “거의 모든” N과, \lim_{N\to\infty}f(N)=+\infty인 임의의 함수 f에 대해, \text{Col}_{\text{min}}(N) \leq f(N)가 성립한다고 한다.

여기서 “거의 모든”의 의미는 logarithmic density인데, natural density가

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k \in S,k \leq n}1

이라면, logarithmic density는

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}\sum_{k \in S,k \leq n}\frac{1}{k}

라서 미묘한 차이가 있다. natural density 대신 logarithmic density를 쓰는 이유가 있는 모양인데, 잘 모르겠음. stackexchange에 블럭 단위로 숫자가 배열되여 있으면 natural density가 진동하지만, logarithmic density가 수렴하는 사례가 나와 있다.[7]

흥미롭게도, 이 논문[2]에서 타오 선생은 “자연수”의 정의에 굳이 영을 포함시켜서 notation을 영 불편하게 쓰고 있다. 선생님 여기서 이러시면 안 됩니다…. 아니 이거 원래 이런 거였나??? 아니면 이게 요즘 유행인가??? 혼란하다 혼란해-_-

뭐 여하간 증명은 어찌했는지 나도 잘 모르겠지만, ㅋㅋㅋ 뭔가 부분적인 결론이라도 나온 것에 흡족해야 할지도 모른다.

여기서부터는 내 견해인데, 사실 PNT는 복소해석학과의 접점[8] 때문에 breakthrough가 있었고(존경합니다. 리만 형님 ㅋㅋ), Waring problem이나 weak goldbach는 circle method라는 강력한 도구 때문에 breakthrough가 있었는데, Collatz 추측의 경우는 내가 알기로 아무런 analytic한 도구가 없다. 어떤 analytic한 도구나 group theory등과 같은 접점을 찾아내야 그 해결이 가시권에 들어오지 않을까 싶기도 하다. ㅎ 뭐 술먹고 쓰는 개소리니까 이해해 주삼. ㅎㅎ

아 그러고보니 옛날에 애플이 Collatz 추측을 이용하여 해쉬함수 특허를 내는 걸 본 적이 있는데[9], Collatz 추측도 어거지로-_- 뭔가 실용적이도록 만들 수 있을지도 모르겠다. ㅋㅋㅋㅋ

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2019.12.14
Almost all Collatz orbits attain almost bounded values (terrytao.wordpress.com)

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[1] 콴타 매거진 Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem December 11, 2019
[2] Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values, Terence Tao, arXiv:1909.03562 [math.PR]
[3] 내 백과사전 수학 조크 2011년 5월 29일
[4] On the 3x + 1 problem (ericr.nl)
[5] 내 백과사전 메르텐스 추측과 리만 가설 2010년 3월 8일
[6] 내 백과사전 prime gap과 Jumping champion 2018년 9월 30일
[7] Natural Density and Logarithmic Density (math.stackexchange.com)
[8] 내 백과사전 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 2010년 3월 12일
[9] 내 백과사전 애플의 collatz 추측을 이용한 해시 함수의 특허 2015년 5월 15일

2 thoughts on “Tao 선생에 의한 Collatz 추측의 부분적인 진보

    • 정보 감사합니다. ㅎㅎㅎ 사실 저도 위키피디아 자연수 항목에 ISO에서 0을 자연수로 정의한다는 내용을 읽어보고, ISO의 저 보고서를 찾아 보려고 했는데, 정작 ISO 홈페이지에서는 유료로 팔더군요.[10] 괘씸해서(?) 더 찾아보는 건 포기했었습니다-_- ㅎㅎㅎ

      [10] https://www.iso.org/standard/64973.html

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