수학 수업시간 중에 노트필기를 LaTeX으로 하는 것이 가능한가?

일전에 MS워드와 LaTeX의 문서생산성을 비교한 연구[1,2]가 갑자기 생각나는데, LaTeX으로 수학 문서를 작성하는 것이 모양은 좋긴 하지만, 빠르게 내용이 지나가는 수업시간 도중에, 내용을 이해해가면서 LaTeX으로 노트필기를 하기에는 아무래도 도저히 무리가 있는게 아닌가 싶은 생각이 든다.

근데 해커뉴스[3]에서 수학 수업의 노트필기를 LaTeX으로 한다는 사람의 이야기[4]가 나와 있다. 헐… 이게 가능해?

이 사람의 주장[4]에 따르면, 칠판에 수식을 쓰는 속도와 거의 비슷하게(!) 수식을 작성할 수 있고, 칠판에 그림을 그리는 속도와 거의 비슷하게(!!) 그림을 그려 넣을 수 있다고 한다. 이게 어째 가능하지????

보니까 온갖 단축키와 기믹을 총동원해서 문서를 만드는 모양인데, 대단하긴 하지만 내공이 너무 높아서 어지간해서는 도저히 따라할 수 있을 법해 보이지 않는다-_- 해커뉴스[3] 사람들도 걍 손으로 써라는 의견이 있구만. ㅎㅎㅎ

이미 손으로 쓰는 계산기[5] 같은 것도 나온지 오래 됐는데, 손으로 쓰면 그것을 LaTeX화 해주는 소프트웨어 구현도 아마 불가능하지는 않을 듯 하다. 다만 수요가 없어서 문제일 듯.

언젠가 아이패드와 애플펜슬로 수학 노트필기 하려는 사람을 본 기억이 나는데, 그냥 종이로 하면 될 거를 왜 이리 컴퓨터로 하려는지 모르겠네-_- 깔삼한 노트정리를 갖고 싶으면, 일단 수업시간에 손으로 대충 쓰고 그걸 컴퓨터로 옮기면, 복습도 되고 여러모로 좋을 듯 하다. 물론 사람마다 다르겠지만, 내가 보기에는 역시 수학 필기에는 종이와 연필이 최고다-_-

아니면 원뿔곡선 저항운동[6]을 해서-_- 칠판을 거부하는 방법도….-_- ㅋㅋㅋㅋㅋ

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[1] Markus Knauff, Jelica Nejasmic, “An efficiency comparison of document preparation systems used in academic research and development.”, J. PLoS ONE 9, e115069 (2014) doi:10.1371/journal.pone.0115069
[2] 내 백과사전 MS 워드와 LaTeX의 문서생산성 비교 2015년 1월 6일
[3] How I’m able to take notes in mathematics lectures using LaTeX and Vim (hacker news)
[4] How I’m able to take notes in mathematics lectures using LaTeX and Vim (castel.dev)
[5] 내 백과사전 손으로 쓰는 계산기 2011년 5월 16일
[6] 내 백과사전 원뿔 곡선 저항운동 2017년 5월 30일

퓨처라마 정리 The Futurama Theorem

arstechnica 기사[1]를 보니 뭔가 천하에 쓸데없는 이야기를 하는 듯 해서 검색을 좀 해 봤다.

퓨처라마‘라는 애니메이션이 있나본데, 맨날 일본꺼만 보다 보니-_- 미국 애니메이션은 잘 모른다. ㅋㅋㅋ 근데 대충 검색해보니 뭔가 애니메이션 내용이 nerdy한 듯 하다. 1000년 후의 미래 이야기라고 하는데, 나무위키[2]에 엄청 문서가 방대하고 자세하다. 시나리오 작가 중의 한 명인 Ken Keeler 작가는 위키피디아에 따르면 하버드에서 응용수학으로 PhD를 받은 모양이다.

퓨처라마에 The Prisoner of Benda라는 에피소드가 있다고 한다. 여기서 두 사람의 영혼을 바꾸는 장치가 등장한다. 근데 한 번 교환된 쌍은 두 번 다시 교환할 수 없다고 한다. 그래서 Keeler 작가가 이 대목에서 뭔가 nerdy한 요소를 더 만들어 넣을 수 없을까하고 궁리하다가 theorem을 만들어서 에피소드에 넣었다고 한다.[1] ㅎㅎㅎ 시나리오를 위해서 theorem을 만든 최초의 사례라나 뭐라나[1] ㅎㅎㅎ

상황을 정리해보면, n명의 사람들의 영혼이 퓨쳐라마의 장비를 통해 서로 임의의 상태로 뒤바뀌어져 있을 때, (한 번도 영혼이 교환된 적이 없는) 외부조력자 2명을 추가하면 항상 모든 이의 영혼을 원상복구할 수 있다는 정리이다.

좀 더 수학적으로 표현하면, n개의 원소를 가진 집합 A의 임의의 permutation은 A에 속하지 않은 두 개의 원소를 포함하는 transposition들의 합성으로 항상 identity로 만들 수 있다.

증명은 간단한데, 사실 모든 permutation은 disjoint cycle로 분해되고, 각 cycle을 두 외부 조력자와의 transposition으로 분해하면 된다. 모든 transposition은 두 조력자 중 한 명을 포함하므로, 이전까지 한 번도 교환된 적이 없는 쌍이라서 영혼교환이 가능하다. 위키피디아 The Prisoner of Benda 항목에도 증명이 서술되어 있다.

극중에 등장하는 박사의 컴퓨터 화면에 이 정리의 증명이 슬쩍 지나간다고 한다. ㅎㅎㅎ 유튜브에 퓨처라마 애니메이션 영상과 함께 설명하는 영상[3]도 있다. 검색해 보니까 이 교환 회수를 최소화하는 알고리즘을 찾는 연구[4]도 있더만. 시나리오 작가의 이름을 따서 Keeler’s theorem이라고도 부르는 듯 하다.

일전에 하루히 문제[5]도 그렇고, 애니메이션이랑 엮이니까 쓸데없이 왜 이렇게 웃기지 ㅋㅋ

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[1] arstechnica A reunion with Futurama, because only one show used climactic math theorems 6/11/2018, 12:00 AM
[2] 퓨처라마 (나무위키)
[3] The Futurama Theorem (youtube 20분 6초)
[4] Ron Evans, Lihua Huang, Tuan Nguyen, “Keeler’s theorem and products of distinct transpositions”, arXiv:1204.6086 [math.GR]
[5] 내 백과사전 하루히 문제 : Superpermutation의 최소 길이 2018년 11월 2일

genus 3 머그컵


topologist는 도넛과 찻잔 어쩌구 하는 개그가 있는데, 그 개그가 안 통하는 머그컵이 있을 줄은 몰랐다. ㅋㅋㅋㅋ 세척하기 어렵겠구만. ㅋㅋㅋ 근데 나는 ball이 없다는 개그[1]가 더 재밌다. ㅋㅋ

페북에서 이 사진[2]을 처음 봤을 때, genus가 왜 3인지 한참 생각했다-_- 젠장-_-

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[1] 내 백과사전 수학 조크 2011년 5월 29일
[2] https://www.facebook.com/groups/1567682496877142/permalink/2163007760677943/

수학적 증명의 종말과 Horgan 선생의 변명

이론 전산학자인 Scott Aaronson 선생의 블로그에 Horgan 선생의 글[1]에 대한 반론 글[2]이 있길래, 뭔 일인가 싶어서 읽어봤다.

일전에 Woit 선생의 끈이론 비판글에 대한 이야기[3]할 때 Horgan 선생의 이름은 대충 들어봤는데, ㅋㅋ Horgan 선생의 주장을 쉽게 설명하자면 프랜시스 후쿠야마 선생의 이과 버전-_- 정도 될 듯 하다. 여하간 Horgan 선생이 사이언티픽 어메리칸에서 필자로 활동하면서, 1993년에 “증명의 종말”이라는 글[4]로 수학자들의 광역 어그로-_-를 끌면서 대박 기사를 썼던 모양이다. 사이언티픽 어메리칸 창간 이래로 가장 많은 항의 메일을 받은 기사라나 뭐라나[2] ㅋㅋㅋㅋㅋ 이후에 end of science[5]라는 책도 썼는데, 이 사람은 왜 이리 종말을 좋아하는 건지 모르겠구만. ㅋㅋ 뭐 나는 자세히 안 읽어봤지만, 대충 찾아보니 수학 분야의 세분화/전문화 및 복잡성에 더해 컴퓨터 기반의 증명이 출현하면서 전통적인 ‘증명’의 역할이 끝날 것이라는 이야기 같다.

여하간 수학자들의 공적(public enemy)(?)으로서 공적(achievement)이 있는 탓에, 1993년에 David Hoffman과 Hermann Karcher는, 존재가 추정되는 곡면에 그의 불명예를 기리기 위해 The Horgan Surface[6]라는 이름을 붙였다고 한다. 이게 뭔 곡면인가 싶어 검색을 해봤는데, 경계선이 없고(complete) 평균 곡률이 영이면서(minimal) 자기 자신과 만나지 않는(R3 embedded) 곡면 중에서 genus가 1인게 Costa Minimal Surface이고, 2인게 Horgan Surface가 된다. 컴퓨터로 그 존재성이 강하게 예측되었으나, 기묘하게도 그런 곡면이 존재하지 않는다는 사실이 증명[7]되어, Horgan 선생의 주장이 무색해지게 되었다고 한다. 이 무슨 기묘한 인연인가 모르겠네. “Horgan non-surface”라고 이름 붙였던데[7] 존재하지도 않는 곡면에 이름이 다 있구만 ㅎㅎㅎ

그런 그가 또 한 번 광역 어그로 비스무리한(?) 글[1]을 사이언티픽 어메리칸에 쓴 모양이다. 뭐 대충보니, 내 생각은 별로 바뀐게 없다-_-는 논지의 내용 같던데, 그래서 Aaronson 선생이 글[2]을 쓴게 아닌가 싶다.

Aaronson 선생이 언급[2]했듯이, 불리언 피타고라스 트리플 문제와 같은 사례[8]처럼, 지금도 오직 컴퓨터로만 증명을 확인할 수 밖에 없는 증명이 나오는데, 뭐 언젠가는 수학적 진보를 위해 컴퓨터가 필수가 되거나, 나아가 인공지능 수학자가 증명까지 해 주는 세상이 올지도 모른다. 근데 그때쯤 되면 자연과학이나 생활 전반의 문제가 통째로 인공지능으로 해결되고 있을 테니 수학만의 문제는 아닐 듯. ㅋ

Horgan 선생이 자신의 글에 대한 저명인사들의 반응들[9]도 실었던데, 세상에서 젤 재밌는게 쌈구경이랑 불구경이라고-_- 일전[10]에도 봤지만 뭔가 쓸데없이 재미있네. ㅋㅋㅋ

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[1] 사이언티픽 어메리칸 The Horgan Surface and the Death of Proof March 4, 2019
[2] Death of proof greatly exaggerated (scottaaronson.com)
[3] 내 백과사전 Woit 선생의 끈이론 비판 글 : 이론물리학의 종말(?)과 인공지능 물리학자 2018년 12월 15일
[4] Horgan, H. (1993) The Death of Proof. Scientific American, 269, 74-82. http://dx.doi.org/10.1038/scientificamerican1093-92
[5] Horgan, John (1996), The End of Science: Facing the Limits of Science in the Twilight of the Scientific Age. New York: Broadway Books
[6] The Horgan Surface (minimalsurfaces.blog)
[7] Weber, Matthias (1 November 1998). “On the Horgan minimal non-surface”. Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 7 (4): 373–379. doi:10.1007/s005260050112
[8] 내 백과사전 불리언 피타고라스 트리플 문제가 해결되었나? 2016년 5월 28일
[9] 사이언티픽 어메리칸 Okay, Maybe Proofs Aren’t Dying After All March 7, 2019
[10] 내 백과사전 2회 디코노미에서 부테린과 루비니의 설전? 2019년 3월 15일

“발산하는 무한급수는 악마의 발명품”

페북에서 이런 개그[1]를 봤다.

1828년 아벨 선생이 이르기를 : “발산하는 무한급수는 악마의 발명품이다. 그리고 어떤 증명이든 이를 사용하는 것은 수치스러운 일이다.”

한 세기 후…

ㅋㅋㅋㅋㅋ 이건 일전에 이야기[2]한 1+2+3+4+ … = -1/12인데, 이 등식이 은근 컬트적인 인기가 있어서-_- 페북에 Negative 1/12 memes라는 페이지[3]도 생겼다. ㅎㅎㅎ

여하간 인터넷에 떠도는 quotation 중에서 구라가 너무 많기 때문에, 진짜인지 검색을 좀 해 봤다. 역시나 math stackexchange에 누가 한 대답[4]이 있었다. 댓글에 원문은 노르웨이어라고 하는데, 진짜인지는 불명하다. 여하간 불어를 영어로 번역한 문장이 알려져 있는 듯 하다.[4,5] devil에 대한 언급은 없지만 shameful이라는 언급은 있는 듯…. 역시나 그럼 그렇지. ㅋㅋ 근데 있었으면 웃겼을 텐데 아쉽다. ㅎㅎ

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[1] https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2098480146937193
[2] 내 백과사전 1+2+3+4+… = -1/12 2014년 1월 13일
[3] https://www.facebook.com/Negative1Over12MemesForNonDifferentiableTeens/
[4] Abel’s famous “devil quote” (math.stackexchange.com)
[5] Christiane Rousseau, “Divergent series: past, present, future”, arXiv:1312.5712 [math.DS]

8866128975287528³+(-8778405442862239)³+(-2736111468807040)³

오 마이 갓 대박뉴스다.

일전에 세 개의 세제곱수 이야기[1]를 했지만, 평범하게 잘 나가다가 갑자기 난이도가 확 어려워지는 케이스가 있다. 근데 방금 Gil Kalai 선생의 블로그[2]를 보니 33인 케이스가 풀린 모양이다. 그 해답은 바로

88661289752875283+(-8778405442862239)3+(-2736111468807040)3 = 33

헐…. Timothy Browning이라는 사람이 푼 모양인데, 나는 처음 듣는 이름이다. 위키피디아에 이름이 있는 걸 보면, 모르긴 해도 나름 유명한 듯??

당연히 맨땅에 헤딩해서 찾지는 않았을 터이고, 엘키스 선생의 경우[3]처럼 뭔가 트릭을 썼을 듯 한데, 방법이 궁금하구만. ㅋㅋ reddit 페이지[4]도 참고 바람.

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2019.3.10
몰랐는데 74가 비교적 최근인 2016년에 풀렸었네-_-[5] 헐… 몰랐었음. 이로 인해 100이하의 값들 중에 풀리지 않은 값은 42 하나 남았다.

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2019.3.11
오늘 블로그[2]를 다시보니 Andrew Booker라는 사람이 푼 것이라 한다. 그의 논문이 공개[6]되어 있다.

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[1] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[2] 8866128975287528³+(-8778405442862239)³+(-2736111468807040)³ (gilkalai.wordpress.com)
[3] Elkies, N. D. (2000) “Rational points near curves and small nonzero |x3 − y2| via lattice reduction”, arXiv:math/0005139 [math.NT]
[4] 33=8866128975287528^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3 (reddit.com)
[5] Sander G. Huisman, “Newer sums of three cubes”, arXiv:1604.07746 [math.NT]
[6] CRACKING THE PROBLEM WITH 33 pdf 269KB

괴델 트럭군이 귀여운 힐베르트 프로그램을 박살내다

동영상 제목이 Godel’s Truck-kun DESTROYS Hilbert’s kawaii program. 이란다.[1] ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

이거 만든 놈 누구냐 ㅋㅋㅋㅋㅋ 아 배아파 ㅋㅋㅋ

그나저나 한 번도 본 적이 없는 애니메이션인데 제목을 모르겠음. ㅎ

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[1] Godel’s Truck-kun DESTROYS Hilbert’s kawaii program. (facebook video 재생시간 4초)

ISP가 수학 기초 공리를 위반할 때

유튜브에서 초 씨잘데기 없는 영상[1]을 봤다. ㅋㅋ 재생시간 6분 7초

아 진짜 이거 만드는 사람 뭐하는 사람인지 궁금하네. ㅋㅋㅋㅋ ISP에서 인터넷 가입 권유 전화가 오면 이런 생각을 하는 건가 ㅋㅋㅋ “수학을 생각해야지 하고 마음먹고 생각하는 것은 2류다. 무의식적으로 꿈속에서도 생각이 되는게 1류의 시작이다”라는 말[2]이 있는데, 진짜 1류는 다르긴 다른가 보다. ㅋㅋㅋ

갑자기 페북에 있는 초 씨잘데기 없는 수학짤방 만드는 그룹에서 본 개그[3]가 생각나네 ㅋㅋ

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[1] How ISPs Violate the Laws of Mathematics (youtube 6분 7초)
[2] 내 백과사전 일본의 어느 수학과 진학소개 2014년 6월 6일
[3] https://www.facebook.com/groups/1567682496877142/permalink/2155791164732936/

Gil Kalai 선생의 간단퀴즈

일전에 양자컴퓨터에 대한 회의론[1]을 제기한 Gil Kalai 선생의 블로그[2]를 보니, 간단 퀴즈를 올렸던데 함 풀어보시라.

다음 곱은 얼마인가?

\displaystyle \prod_{p \text{ prime}} \frac{p^2 +1}{p^2 -1}

당연히 모든 소수에 대한 곱을 의미한다. 즉, \frac{5}{3}\cdot \frac{10}{8}\cdot \frac{26}{24}\cdot \frac{50}{48}\cdot \frac{122}{120}\cdots

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잠깐 생각해봤는데, 풀지는 못하고 수렴성만 증명할 수 있었다.

\displaystyle \zeta(2) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{p^2}{p^2 -1} < \prod_{p \text{ prime}} \frac{p^2 +1}{p^2 -1} <  \prod_{p \text{ prime}} \frac{p^2 +p}{p^2 -1} = \zeta(1)

이니까 수렴/발산 사이에 나름 아슬아슬한 줄타기를 하는 놈인 듯 해 보였다. 근데 infinite product 성질 중에서

\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{N} p_n \le \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \le \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

이런게 있다. 증명도 별로 안 어려움. 여하간 그래서 \sum \frac{2}{p^2 -1}만 확인해도 된다. 근데 이건 partial fraction하면 telescoping sum이다. 즉,

\displaystyle \sum \frac{2}{p^2 -1} < \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^2 -1} = \sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) <\infty

가 된다. 계산 맞나-_-? 틀리면 망하는데-_-

근데 여기서 반전!!! 글[2]의 댓글에 누가 링크한 mathoverflow 글[3]에 정답이 있었다. 근데 초 쉽게 풀었네-_- 젠장-_-

좀 신기하다고 생각되는 부분은, 모든 소수에 대한 곱인데 그 결과가 유리수가 된다는 점이다. 물론 다들 아시겠지만 \prod \frac{p^2}{p^2 -1} = \frac{\pi^2}{6}과 같은 경우는 원주율이 나타나기도 한다. 이래서 소수는 종잡을 수 없다.

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[1] 내 백과사전 Gil Kalai 선생의 양자 컴퓨터에 대한 부정적 견해 2018년 2월 12일
[2] Test Your Intuition (or knowledge, or programming skills) 36 (gilkalai.wordpress.com)
[3] Computing ∏p(p^2−1 / p^2+1) without the zeta function? (mathoverflow.net)