흥미로운 디오판토스 방정식

해커뉴스[1]에 흥미로운 디오판토스 방정식이 언급되어 있어 포스팅해 봄. ㅋ


나름 퍼즐 문제 좀 잘 푼다고 생각하는 일반인들을 낚기 위해 귀여운 과일 이미지까지 동원하는 이런 사악한-_- 짤방이 돌아다니는 모양인데, 좀 더 수학스러운 형태로 표현하자면 다음과 같다.

\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4의 자연수 해를 구하시오.

경시대회 문제를 자주 봐 왔다면 다음과 같은 표현이 더 친숙할 듯 하다.

\displaystyle \sum_{cyc}\frac{a}{b+c} =4의 자연수 해를 구하시오.

그러나 많은 디오판토스 방정식이 그렇듯이, 보기 쉬워 보인다고 풀기도 쉬운 것은 아니다. ㅋㅋㅋㅋ 들어올 때는 마음대로였겠지만 나갈 때는 아니란다. ㅋㅋ

본인도 쓸데없이 잠깐 풀이를 생각좀 하다가 해설[2]을 봤는데…. 이런…. 똥 밟을 뻔 했다-_- 타원 곡선이 동원되고 난리도 아니구만-_- 참고로 위 방정식의 가장 작은 자연수해는 다음과 같다고 한다.

a = 437361267792869725786125260237139015281653755816161361862143‌​7993378423467772036
b = 368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831‌​37471637224634055579‌
c = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026‌​63489825320203527799‌​9

이거 일전에 세 개의 세제곱수 이야기[3]보다 더 심한거 아닌가? 켁.

4가 아닌 일반적인 값 N에 대한 논의는 2014년의 Bremner와 MacLeod의 논문[4]에 있다. math overflow에도 관련 이야기[5]가 있다. 논문[4]에는 N이 홀수일 때는 자연수해가 없음을 증명하고 있고, 논문 뒤쪽[4;p38]에 N의 값이 각종 짝수일 경우 최소해들의 자리수가 천자리가 넘는 경우를 소개하고 있다. 특히 N=178인 경우 3억9천만 자리가 넘는다고…..-_-

 


2017.8.8
Baez선생도 한 마디 하는 듯… [6] ㅋㅋ

 


[1] https://news.ycombinator.com/item?id=14943528
[2] How do you find the integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4? in Quora
[3] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[4] A. Bremner and A. Macleod, “An unusual cubic representation problem”, Ann. Math. Inform. 43 (2014), 29-41.
[5] Estimating the size of solutions of a diophantine equation in mathoverflow
[6] https://plus.google.com/+johncbaez999/posts/Pr8LgYYxvbM

Cleo : 인터넷 수학 현자

John Baez 선생의 구글플러스[1]를 보니 흥미로운 이야기를 소개하고 있다.

수학도라면 Math StackExchange를 대부분 알 듯한데, 사용자 사이의 수학 질문 답변 사이트이다. MathOverflow와 함께 잘 알려져 있다. 일전에 이 사이트를 통한 부정행위 이야기[2]를 한 적도 있다 ㅋㅋ

Math StackExchange에 Cleo라는 아이디의 사용자가 있는 모양인데, 그 본인의 프로필[3]에 따르면 성별은 여성이고, 정신적인지 육체적인지 모르겠지만 어딘가 장애를 가지고 있어 긴 대화를 할 수 없다고 한다. 근데 가끔 열라 어려운 적분 문제를 묻는 사람에게 아무런 설명없이 정답만 딱 하고 던져주는 사람이라고 한다-_- 덕분에 상당한 수의 팬(!)을 가진 모양. ㅋㅋㅋ

예를 들어 어떤 사람이 \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln^3 (1+x) \ln x}{x}dx의 closed form을 알려달라고 질문을 했는데 Cleo가

\displaystyle \begin{gathered}\frac{\pi^2}{3}\ln^2 2 - \frac{2}{5}\ln^5 2 + \frac{\pi^2}{2}\zeta (3)+ \frac{99}{16}\zeta (5) \\ - \frac{21}{4}\zeta(3) \ln^2 2 - 12 \text{Li}_4\left(\frac12\right)\ln2-12 \text{Li}_5\left(\frac12\right) \end{gathered}

라고 정답만 썼다![4] 왜 정답인지 다른 사람의 댓글에 설명이 있긴 한데 귀찮아서 본인은 안 봤다. ㅋ 참고로 Li는 Polylogarithm이다.

뭔가 미스테리함을 자아내는 인터넷 현자 같은 느낌이 든다. ㅋㅋ 라마누전이 현대에 태어나서 웹서핑을 한다면 이런 사람 같아 보이지 않았을까 싶다. ㅎㅎ

 


[1] https://plus.google.com/+johncbaez999/posts/9mCF43cqvSn
[2] 내 백과사전 Math StackExchange 수학시험 부정행위 사건 2012년 12월 15일
[3] https://math.stackexchange.com/users/97378/cleo
[4] https://math.stackexchange.com/questions/908108/how-to-find-large-int-01-frac-ln31x-ln-xx-mathrm-dx/908325#908325

Microsoft Station Q : 마이크로소프트의 양자컴퓨터 연구랩

2년전에 이코노미스트지 기사[1]에서 필즈상 수상자인 Michael Freedman 선생이 마이크로소프트의 지원을 받아 양자컴퓨터를 연구하고 있다는 소식을 들은 적이 있다. 이 소식이 어찌됐나 까먹어가던 차에, 마침 정보통신기술진흥센터에서 발간하는 주간기술동향 기사[2]를 보니, 흥미롭게도 마이크로소프트가 타사에 비해 어떤 기술적 우위를 점하고 있는 듯한 소식이 들린다. 헐, 진짠가?

몰랐는데, Freedman 선생이 설립한 랩 이름이 Microsoft Station Q라고 한다. Station Q의 홈페이지의 소개[3]에 따르면, Freedman 선생이 연구를 나름 오래전부터 생각해오고 있었는 듯.

Freedman 선생은 토폴로지 쪽에 업적이 있는 사람이라고 알고 있는데, 마이크로소프트에서 연구하고 있는게 바로 topological quantum computer라고 한다. 뭐 본인은 topological quantum computer와 그냥 quantum computer가 뭐가 다른지도 모르겠다-_- 뭔가 토폴로지의 백그라운드가 사용되는 듯. ㅋ 이코노미스트지[1]에 anyon 등등의 나름 자세한 설명이 있으나 뭔 말인지 모르니 넘어갑시다.

주간기술동향의 기사[2]에서는 궁극적인 응용의 범위만 설명하고 있을 뿐, 어떤 측면에서 기술수준이 앞서있는지에 대한 단서는 별로 없어서 실망이다. 다만 설명들이 너무 좋은 이야기들만 늘어놔서 모두 신뢰하기 어려울 정도다. Too good to be true. 나름 재미있으니 일독을 권한다. 뭐 여하간 구글과 나사에서 D-wave의 양자 컴퓨터를 산다고 설치더니만[4] 마이크로소프트가 한 발 앞서는 듯 한 느낌을 준다.

여하튼 마이크로소프트가 기술적으로 앞서고 있는게 사실이라면, 대단하구만 Freedman 선생!! 필즈상이 미래에 업적을 이룰 사람에게 주는 격려상이라는 취지로 볼 때, 매우 수상자격이 있다고 생각한다. Cédric Villani씨는 필즈상 수상 이후에 공부는 안 하고 마크롱 팀에 들어가서 정치하려는 것과 대조되는 듯-_- 얼마전에 69% 득표로 국회의원에 당선된 듯 하다.[5,6]

뭐 여하간 미래는 어찌될지 모를 일이지만, 어쩌면 컴퓨터 자체가 여태까지의 실리콘 베이스에서 전혀 다른 구조로 변하는 혁신의 시초가 될 지도 모를 일이니 좀 더 관심있게 관찰해 볼 일인 것 같다.

 


2017.6.27
Quantum Computing: A beginner’s notes and overview of IBM’s Quantum Experience in IBM blog

 


[1] 이코노미스트 A little bit, better Jun 20th 2015
[2] 주간기술동향 1796호(2017.05.17 발행) MS의 양자 컴퓨터 개발, 양자 알고리즘 연구에서 타사에 우위 (pdf)
[3] https://stationq.microsoft.com/about-stationq/
[4] 내 백과사전 양자 컴퓨터가 실용화 될까? 2013년 5월 18일
[5] https://plus.google.com/+TerenceTao27/posts/cSQAfZCUyNV
[6] http://www.villani2017.eu/

원뿔 곡선 저항운동

일전에 엘렌버그 선생의 책[1]을 재미있게 읽은 기억이 있는데, 엘렌버그 선생은 뭔가 잡다한 지식이 많은 사람 같다. ㅋ 엘렌버그 선생의 구글 플러스를 보니 흥미로운 위키피디아 항목 Conic Sections Rebellion이 소개[2]되어 있다. ㅋ 이 이야기에 대해 Mental Floss의 글[3]도 참고할만 하다.

1825~1830년의 예일 대학교에서는 기하학 수업시간에 학생들이 직접 그림을 안 그렸던 모양인데, 그냥 ‘교과서 어디의 무슨 그림’ 이런 식으로 레퍼런스 방식으로 사용했던 것 같다. 위키피디아에 의하면 심지어 시험에서조차 학생들이 직접 그림을 그리지 않았다고 한다. 그러나 칠판이라는 새로운 첨단(?) 수업 방식이 도입되면서, 수학 수업시간에 학생들에게 칠판에 직접 기하학 그림을 그리도록 강제했던 모양인데, 특히 원뿔 곡선과 같은 수업에서 학생들의 반감이 심했던 모양이다.

예일 대학에서는 이와 관련하여 집단으로 수학 기말고사를 거부하는 학생들의 저항운동이 일어났는데, 일부는 퇴학당하고 상당수가 정학을 먹는 꽤 반항적인 집단 운동이었던 같다. ㅋㅋ 위키피디아 항목을 보니 당시 정학 당한 사람들 중에 훗날 유명인사가 될 인물이 꽤 많았던 것 같다. (뭐 예일이니까-_-) 원뿔곡선은 우리 고교과정에서도 다루는 내용인데, 현대 한국의 고교생들에게는 눈꼽만큼도 공감이 안 갈 학생운동일 것 같다. ㅋㅋㅋㅋ

 


[1] 내 백과사전 [서평] 틀리지 않는 법 – 수학적 사고의 힘 2016년 8월 13일
[2] https://plus.google.com/107909926350520444591/posts/eKFkyGYBQ4A
[3] The Yale Chalkboard Rebellion of 1830 in Mental Floss

그렉 이건 선생이 그린 SU(3)의 그림자

하드 SF를 좋아하면 대부분 아실 이름인 그렉 이건 선생의 구글 플러스에서 SU(3)의 그림자에 대한 설명이 나와 있는데[1,2] 뭔 소린가 싶어서 한참 읽어봤다-_- 참고로 SU(3)는 물리학과 무슨 깊은 연관이 있는 모양이라 물리학자들의 글에서 자주 나오긴하는데, 무슨 연관이 있는지는 당췌 모르겠다 ㅋ 일전에 이야기[3]한 애니메이션 ‘버나드양 가라사대‘ 2편에서도 그렉 이건 선생의 작품이 언급된다. ㅋ

SU(3)는 complex number가 entry인 3×3 행렬집합의 부분집합인데, determinant가 1이고 unitary matrix(conjugate transpose를 하면 자신의 inverse가 되는 행렬) 행렬집합이다. 이 행렬들은 eigenvalue가 모두 complex plane 위의 unit circle 위에 놓인다.[4] 게다가 determinant가 1이므로 그 세 eigenvalue의 곱도 1이 된다. 전체 SU(3)의 각각의 원소에 대해 세 eigenvalue의 합들의 자취는 complex plane 위에서 Deltoid curve가 된다는 이야기를 하고 있다. 이것을 SU(3)의 원소를 complex plane 위에 projection이라고 생각하면, 그렉 이건 선생의 말 그대로 ‘SU(3)의 그림자’가 되는 것이다. 그 그림이 [1]에 나온다.

아씨~ 그런데 왜 그런지 도무지 이해가 되지 않는구만-_- 일단 세 eigenvalue의 곱이 항상 1이므로 두 eigenvalue가 결정되면 세 번째는 자동으로 결정된다. 따라서 첫 번째 eigenvalue가 unit circle에 있다 치면 두 번째 eigenvalue는 unit circle 위의 한 점을 중심으로 한 반지름 1인 원이 된다. 만약 이 두 eigenvalue가 똑같은 값이라면 세 번째 eigenvalue는 시계방향으로 두 eigenvalue의 phase angle의 두 배가 되므로 Deltoid curve의 boundary가 되는 것 까지는 알겠는데, 내부를 완전히 채울 수 있는지를 어떻게 증명하는지 도통 알 길이 없다-_-

한편 본인은 Clifford torus라는 걸 처음 들었는데, SU(3)의 projection과 무슨 상관인지도 모르겠다. ㅋ

아무튼 그렉 이건 선생의 sns는 넘 빡시다는 결론-_- 걍 소설이나 읽읍시다. ㅋ

 


[1] https://plus.google.com/113086553300459368002/posts/BuWJ9eR9Qnw
[2] https://plus.google.com/113086553300459368002/posts/M9oYhoApTxR
[3] 내 백과사전 애니메이션 ‘버나드양 가라사대(バーナード嬢曰く)’에 등장하는 소설 목록 2017년 3월 2일
[4] Show that the eigenvalues of a unitary matrix have modulus 1 in math stackexchange

물리학자들이 리만 가설을 풀 지도 모른다?

해커뉴스[1]에서 괴이한 Quanta 매거진의 기사[2]를 소개하고 있다. 대부분 아시겠지만, Quanta 매거진은 신보다 돈이 많다[3]는-_- 사이먼스 선생이 만든 재단에서 발행하는 과학 웹진이다.

일전에 1+2+3+4+… = -1/12와 같은 괴이한 등식이 물리학에서 이용된다는 이야기[4]를 했는데, 제타 함수가 물리학에서 무슨 의미가 있긴 있는 것 같다. 기사[2]에 의하면 무슨 특정 조건을 만족하는 quantum system을 만들면 리만 가설이 증명될 수도 있는 모양이다. 수리 물리학자 세 명이 리만 가설의 대략적인 증명방향을 제시[5]한 모양이다. 아니 이게 무슨 소리요? 의사 양반???

근데 이미 아는 지식도 까먹어 가는 마당에 물리학조차 전혀 모르니, 뭔 말인지 한 개도 모르겠다. 글[5]에서 첫 문단에 있는 함수 방정식 밖에 모르겠다.

에라이~ 걍 미쿠나 봐야겠다. ㅋ

 


[1] https://news.ycombinator.com/item?id=14040885
[2] Quanta Magazine Physicists Attack Math’s $1,000,000 Question April 4, 2017
[3] 내 백과사전 [서평] 헤지펀드 열전 : 신보다 돈이 많은 헤지펀드 엘리트들 2012년 4월 12일
[4] 내 백과사전 1+2+3+4+… = -1/12 2014년 1월 13일
[5] Carl M. Bender, Dorje C. Brody, and Markus P. Müller, “Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function” Phys. Rev. Lett. 118, 130201 – Published 30 March 2017 DOI:10.1103/PhysRevLett.118.130201

한국 여성의 기대수명과 Bayesian model averaging

원래 여자는 남자보다 평균적으로 항상 수명이 더 긴데, 그 이유는 며느리도 모른다. ㅋ 언제나 영어 울렁증으로 좌절하게 만드는 Nautilus 지의 지난 달 기사[1]에 관련 내용이 있으니 참고하시기 바란다. ㅋ

한 달 전 쯤에, 한국 여성의 기대 수명이 세계에서 가장 높을 것이라는 연구를 보도하는 기사[2,3]를 여러 다른 매체에서 반복적으로 봤는데, 연구자들이 점집 무당도 아니고-_- 앞으로 몇 살을 살 것인지를 무슨 수로 예측하는지 몹시 궁금해졌다. 역시 국내 기사답게 원본 논문[4]은 온데간데 없지만, 검색하면 금방 찾을 수 있다. 고맙게도 Open Access라서 무료로 읽어볼 수 있다. 한 10년전에 비해 Open Access가 무척 많아진 듯 한 느낌적 느낌이 드는데, 어쩌면 Gowers 선생의 영향[5]일 수도 있다. ㅋ

논문[4]의 저자는 경제가 발전된 35개국의 통계자료를 근거로 국가별로 남녀 기대수명을 계산했다고 하는데, 베이지안 모형 평균(Bayesian model averaging)을 사용했다고 한다. 본인은 Bayesian model averaging이라는 용어를 처음들었는데, 이리저리 검색해보니 비교적 광범위하게 사용되는 방법 같다. 본인이 통계학에 무지해서 도통 이해가 안 되던데, 이를 설명한다고 추정되는 책[6]이 있길래 한 권 구입해서 읽어봤다. 어릴 적에는 통계학은 수학이 아니라고 열라 무시했는데-_- 지금와서 좀 후회된다. ㅋㅋㅋ

이 책[6;p179]에 베이지안 모형 평균에 대한 설명이 나와 있다. 대충 봤는데 이 책 은근히 설명이 잘 되어 있는 것 같다. ㅋㅋㅋㅋ 본인이 통계학에 무지해서 이리저리 검색을 참 많이 했는데, 어쨌건 그럭저럭 이해는 한 것 같다-_- 어떤 수치를 예측할 때, 추정가능한 다양한 다중적 모델이 있다고 하자. 어느 모델을 선택하느냐에 따라 미래 예측이 많이 달라진다면 곤란하게 되는데, 각 모델별로 베이지안을 이용하여 어느 정도 평균을 내 주는 계산기법인 것 같다. 검색해보면 어떤 뭔가를 추정할 때, 세울 수 있는 모델의 종류가 다양하게 존재하면 이런 계산기법을 동원하는 것 같다.

란셋의 논문[4]에서는 21개의 모델을 조합하여 추정했다고 하는데, 수명예측 모델이 이렇게나 많은 건가-_- 논문[4]에 자세한 계산과정은 안 나오는 것 같기도 한데, 뭐 여하간 지식이 없어서 잘 모르겠음-_- 여하간 보험회사나 연금 쪽 사람들은 수익성 있는 보험료를 추정해야 하니 관심 있을 듯 하다.

일전에 본 사트야지트 선생의 책[7]에는 모델러가 모델러를 꼬시는-_- 이야기[8]가 나오는데, 역시 모델을 잘 잡는(?) 건 중요한 듯 ㅋㅋㅋ

 


2017.4.27
Misuse of Bayesian modelling in the Palaeolithic : the recent case of Ksar Akil in PNAS

 


[1] Nautilus Why Men Don’t Live as Long as Women MARCH 2017
[2] 한겨레 한국 여성 기대수명 세계 첫 90살 돌파…남녀 모두 1위 2017-02-22 12:36
[3] 가디언 Life expectancy forecast to exceed 90 years in coming decades 1 month old
[4] Vasilis Kontis, et al. “Future life expectancy in 35 industrialised countries: projections with a Bayesian model ensemble”, Lancet, Volume 389, No. 10076, p1323–1335, 1 April 2017, DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0140-6736(16)32381-9
[5] 내 백과사전 The Cost of Knowledge : Elsevier 보이콧 운동 2012년 4월 10일
[6] 강규호 저, “베이지안 계량경제학”, 박영사, 2016, ISBN : 9791130303048
[7] 내 백과사전 [서평] 파생상품 : 드라마틱한 수익률의 세계 2011년 10월 21일
[8] 내 백과사전 패션모델과 금융모델 2011년 10월 23일

R(5,5)의 upper bound가 하나 줄어들다

그래프 이론에서, n개의 점이 모두 연결되거나 m개의 점이 모두 연결되지 않은 subgraph가 항상 존재하는 vertex 개수의 최소값이 존재한다는 정리가 Ramsey’s theorem이다. 일전에 R(3,4)=9 의 증명을 설명한 적[1] 있으니 참고하기 바란다.

R(5,5)의 값은 아직도 알려지지 않았는데, 그 bound의 좁혀진 역사가 [2]에 설명이 잘 돼 있다. 43보다 크고[3] 49보다 작다[2]는 1997년까지의 결과가 여태까지 최신의 결과였다. wolfram mathworld[4]에는 49보다 작다는 결과의 증명이 1995년 논문[5]이라고 나와 있는데, 그 논문[5]을 대충 확인해보니 아무래도 mathworld를 작성한 사람이 착오를 한 것이 아닌가 싶다.

여하간 이 1997년 결과[2]가 여태까지 최신이라 지난 20년간 bound의 발전이 없었는데, Gil Kalai 선생의 블로그[6]를 보니 며칠 전에 upper bound가 48로 하나 줄었다[7]고 한다-_- 20년만의 진보인가 ㅋㅋㅋ

대충 보니 350,904 가지의 경우의 수로 나누어 센 모양인데, 일전에 454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다[8]는 이야기와 불리언 피타고라스 트리플 문제[9] 이야기도 했지만, 이제 이 동네는 컴퓨터 없으면 결과가 잘 안 나오는 것 같다. ㅋㅋㅋ

 


[1] 내 백과사전 R(3,4)=9 의 증명 2010년 9월 8일
[2] Brendan D. McKay and Stanis law P. Radziszowski. “Subgraph counting identities and Ramsey numbers”. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 69(2):193–209, 1997
[3] Exoo, G. “A Lower Bound for R(5,5).” Journal of Graph Theory. 13, 97-98, 1989.
[4] http://mathworld.wolfram.com/RamseyNumber.html
[5] McKay, B. D. and Radziszowski, S. P. “R(4,5)=25.” Journal of Graph Theory 19, 309-322, 1995
[6] R(5,5) ≤ 48 by Gil Kalai
[7] Vigleik Angeltveit, Brendan D. McKay (2017) “R(5,5)≤48”, arXiv:1703.08768 [math.CO]
[8] 내 백과사전 454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다 2016년 1월 20일
[9] 내 백과사전 불리언 피타고라스 트리플 문제가 해결되었나? 2016년 5월 28일