소수 우주전투기(Prime Starfighter) 게임

간만에 Abstruse Goose 사이트[1]에 새 글이 올라왔던데, 보니까 웹브라우저로 할 수 있는 게임이 올라와 있다. 이름하여 Prime Starfighter-_-

날아오는 숫자들 중에서 합성수는 놔두고 소수만 제거하면 된다. 조작법은 화살표 키로 하고 스페이스바를 누르면 fire and fury[2]가 나온다고 한다. ㅋㅋㅋ 소수가 최하단에 도달하는 순간 게임 오버 된다.

초 단순한 게임이지만 나름 도입 스토리도 있다!! 사악한 소수 제국이 모든 합성수를 제거하려 하는 것를 막아야 한다나 뭐라나-_-

 


[1] http://abstrusegoose.com/576
[2] 내 백과사전 화제의 책 Fire and Fury 2018년 1월 12일

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모치즈키의 abc 추측 증명에 대한 논란

일전에 본 블로그에서 언급[1]을 했지만, 근래 화제가 되고 있고 생각해볼만한 문제라 포스팅해 본다.

모치즈키 선생이 주장하는 abc 추측에 대한 증명이 PRIMS (또는 RIMS)라는 저널[2]에 실렸다는 소문[3]이 났는데, 근데 RIMS는 공교롭게도 치프 에디터가 모치즈키 자신이라-_- 이에 대해 논란이 가중되는 것 같다. 이거 뭐 셀프 억셉인가-_- 그래서 진위 확인을 하기 위해 누가 문의한 모양인데, RIMS 측에서는 아직 억셉트 되지 않았다는 답변을 했다고 한다.[4] Peter Woit 선생의 블로그 Not Even Wrong[4]에 댓글로 다양한 이야기가 나오고 있다.

과거 2012년에 Cathy O’Neil 여사가 모치즈키가 자신의 증명을 명확하게 설명하지 않는다는 이유로 abc 추측은 아직 증명이 안 됐다고 주장한 글[5]이 있던데, 이런 글이 있었는 줄 몰랐네. ㅎㅎㅎ 2017년이 끝나가는 현재까지도 상황이 그리 변하지 않은 것 같다. O’Neil 여사는 글[5] 마지막에 악플을 너무 많이 받아서, 댓글을 닫았다고 써 놓았다. 이건 딴 이야기지만-_- O’Neil 여사의 책[6]이 근래 번역되었던데, 빨랑 읽어봐야 하는데 게을러서 여태 안 보고 있다 ㅋㅋㅋ 아놔.

여하간 해커뉴스[7]에서 시카고 대학 수학과 소속의 Frank Calegari 선생의 글[8]이 올라와 있던데, Calegari 선생의 표현을 빌자면 정수론 학계의 총체적 난국(complete disaster)이다-_- 그의 논문에는 너무나 많은 기존에 알려지지 않은 아이디어가 포함되어 있는 것 같은데, 이것이 혁신적인 발상인건지 그냥 개소리인지 판정을 하기가 너무 어려운 상황 같아 보인다.

예를 들어, 증명과정의 어떤 이해하기 힘든 스텝이 있을 경우, 이것이 읽는 사람이 놓치고 있는 심오한 사고과정의 결과인지 그냥 저자의 실수인지를 판정해야 한다. 그러나 반증을 하려면 그것 조차 증명이 필요하고, 논문에 그런 스텝들이 무수히 많으면서 저자의 적절한 설명이 없을 경우, 거의 무한한 노력이 투입되어야 한다. 그 결과 타오 선생의 댓글[8]에서도 지적했듯이, 증명의 개략적인 요약본도 나오고 있지 않은 실정이다.

여러모로 과거 페렐만, 장익당 선생의 증명들과 비교되고 있는데, 몇 가지 차이점이 있다. 타오 선생이 댓글[8]에서 상세히 써 놓았다. 그들은 혁신적인 아이디어를 가지고 있었으나, 방법론은 모두 기존 전공자들에게 잘 알려진 것들이라는 점이다. 모치즈키의 경우 기존 전공자들에게는 너무나 생소한 방법론을 사용하고 있고, 더구나 그것을 적극적으로 해설하지도 않고 있어, 논리적 갭을 메우는 것이 너무 난감하다는 점이 문제다.

이런 걸 보면 수학적 증명이라는 것의 본질이 무엇인지에 대해 생각하게 된다. 수학적 증명이란 논리적으로 옳으니 누구나 인정할 수 밖에 없으니 매우 객관적 사실처럼 보이지만, 최종적으로는 ‘주변 사람들에게 인정을 받아야 한다’라는 보이지 않는 주관적 관문이 있다는 점이다. 사실 모치즈키 자신은 옳은 증명이라고 생각하지만, 그런 건 디시 인사이드 수학 갤러리에서 논리적 갭을 메우지 않고 리만 가설을 풀었다고 뇌내망상 정신승리-_-하는 친구[9]들과 현재로서는 본질적 차이가 없다. 모치즈키의 논리적 갭이 진짜 trivial인지, 아니면 정신승리-_-인지, 자신이 적극적으로 해명해야 할 최소한의 의무는 있다고 보인다.

페렐만의 경우, 이 부분을 좀 도외시한 면이 있으나 결국 다른 수학자들의 영웅적 희생으로 증명의 엄밀함을 얻게 되었고, 상대적으로 적은 노력으로 모든 영예를 독차지 했다는 점에서 도의적 문제가 있다고 본다. 그런 의미에서 과거에 뉴요커 지에서 읽었던 Manifold Destiny[10]라는 유명한 기사가 생각나는데, 그 때 당시에 비해 생각이 좀 바뀌는 것 같다. 당시에는 Yau 선생이 페렐만의 영예를 가로채는게 아닌가 싶었는데, 뭐 본인은 자세한 내용은 모르지만 내용에 따라서는 Yau 선생의 공로도 일부 인정해야 하는게 아닌가 싶기도 하다.

 


[1] 내 백과사전 abc 추측과 모치즈키 신이치 2014년 7월 5일
[2] http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~prims/index.html
[3] 아사히 신문 Mathematician in Kyoto cracks formidable brainteaser December 16, 2017 at 18:25 JST
[4] Latest on abc in Not Even Wrong
[5] The ABC Conjecture has not been proved in mathbabe
[6] 캐시 오닐 저/ 김정혜 역, “대량수학살상무기“, 흐름출판, 2017
[7] https://news.ycombinator.com/item?id=15971802
[8] The ABC conjecture has (still) not been proved in Persiflage
[9] http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=231171
[10] http://zariski.egloos.com/983084

Stein의 책 ‘기초 정수론’의 한국어판

수학도라면 CAS 중에 SageMath를 만든 것으로 유명한 Stein 선생의 이름은 대부분 이름을 들어 봤을 것 같다. 본 블로그에서도 몇 번 이름을 언급한 적[1,2]이 있다.

Stein 선생의 홈페이지를 간만에 보니, 그가 쓴 책 ‘Elementary Number Theory'[3]의 한국어 번역판 pdf 파일을 공개[4]하고 있다. 헐… 공개한 지 약간 오래된 것 같은데, 본인은 오늘 알았다. ㅋㅋ 역자는 충남대 수학과 소속의 강병련 교수라고 한다.[5] 번역서 제목은 ‘계산과 법연산, 그리고 비밀통신을 강조한 기초정수론’이다. 목차를 대충 보니 암호학과 관련된 초등적인 내용들을 다루고 있는 듯 하다. 심심하면 짬 내서 한 번 보는 것도 좋을 듯…

일전에 공개한 Stein 선생의 책[6]도 제대로 못 봤는데-_- 볼 건 많고 능력은 부족하고…. ㅋㅋㅋ 다른 수학책이 필요한 사람은 일전에 이야기한 무료 수학책[7]을 참고하기 바란다.

 


[1] 내 백과사전 트럼프가 리만 가설을 증명한다면? 2017년 2월 7일
[2] 내 백과사전 Simons Foundation이 Sage Project의 후원을 거절하다 2015년 9월 7일
[3] https://www.amazon.com/Elementary-Number-Theory-Computational-Undergraduate/dp/0387855246/
[4] http://wstein.org/ent/
[5] https://twitter.com/sioum/status/840328719621226496
[6] 내 백과사전 Barry Mazur와 William Stein의 새 책 2015년 11월 25일
[7] 내 백과사전 무료 수학책 모음 사이트 2013년 12월 9일

RSA 공격법 : Coppersmith’s attack

다섯 명의 보안 연구자들이 CVE-2017-15361 라는 연구보고서[1]를 발표했는데, 이름하여 the Return of Coppersmith’s Attack (줄여서 ROCA) 라고 이름 붙였다고 한다. 이게 뭔 소린가-_- 싶어서 이리저리 검색해봤다. RSA를 공격하는 여러가지 방법들 중에 Coppersmith’s attack이라는 유명한 방법을 응용한 어떤 방법 같다. Synopsys라는 회사의 홈페이지[2]에 설명이 꽤 상세하니 참고할만 하다.

현재 ROCA에 영향받는 시스템의 숫자가 상당하다[2,3]고 하는데, 벌써 공개키값을 입력하면 취약성을 판단해주는 사이트[4]도 있다. 마이크로소프트의 윈도우즈 제품들에도 영향이 있다는데, 마이크로소프트 측에서는 이번 CVE-2017-15361에 대한 보안 권고문 ADV170012[5]도 발간한 모양이다. 집에 있는 공유기 등등 여러 전자제품들은 웬만하면 OS패치는 꼬박꼬박 해두자-_-

1996년에 Don Coppersmith라는 보안 전문가가 정수계수의 degree n인 monic polynomial이 주어질 때, 0부터 M^{1/n}의 범위 안에 up to mod M으로 모든 root를 찾는 다항식 시간 알고리즘을 발표했다고 한다. 이름하여 Coppersmith method인데, 이 방법을 동원하면 RSA로 부실하게 암호화 할 때 root를 모두 파내는 작업이 가능한 모양이다.

RSA를 구현하려면 두 소수 p, q와 공개키 e값, 비밀키 d값을 결정해야 한다. 이 때, ed\equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)}가 성립해야 한다. 평문 메세지 M을 전송하려면 C\equiv M^e \pmod{pq}로 암호화한 C를 전송하고, C^d\equiv M \pmod{pq} 으로 복호화한다.

RSA 자체의 수학적 문제는 없지만, 사용하는 사람에게 문제가 발생할 수 있다. 일전에 소수 재사용 문제[6]와 유사하다고나 할까. ㅎㅎ 위키피디아의 Coppersmith’s attack 항목의 설명에 따르면, 컴퓨터 모듈러 연산의 속도를 위하여 e값으로 페르마 소수 F_0, F_2, F_4를 사용하는 경우가 많다고 한다. e값이 작고 평문의 길이가 매우 짧을 경우, 보통 pq의 값이 매우 크기 때문에 암호화 된 텍스트 값 C가 모듈러 연산에 몇 번 걸리지 않는 경우가 있다고 한다. 이 경우 C값을 그냥 e 거듭제곱근을 구해서 평문을 복호화해 낼 수가 있다.

또는 동일한 메세지를 다수의 청중에게 방송할 경우, 공약수를 파내는 방법과 중국인 나머지 정리를 쓰면 평문 메세지의 경우의 수를 꽤 크게 좁힐 수도 있는 것 같다. 이런 식의 다양한 RSA 공격 기법들이 알려져 있는 것 같은데, 이번 ROCA는 정확히 어떻게 공격하는지는 본인도 잘 모른다-_- [1]을 대충 봤는데, 원체 지식이 없다 보니… ㅋㅋㅋ

여하간 보안패치는 꼬박꼬박 하자는 교훈. ㅎㅎㅎ 지금 검색해보니 보안뉴스에도 관련 기사[7]가 있다.

 


2017.10.24
Security Flaw in Infineon Smart Cards and TPMs in Schneier on Security

 


[1] https://crocs.fi.muni.cz/public/papers/rsa_ccs17
[2] ROCA: Cryptographic flaws in BitLocker, Secure Boot, and millions of smartcards
[3] 포브스 ‘Worse Than KRACK’ — Google And Microsoft Hit By Massive 5-Year-Old Encryption Hole OCT 16, 2017 @ 10:41 AM
[4] https://keychest.net/roca
[5] https://portal.msrc.microsoft.com/en-us/security-guidance/advisory/ADV170012
[6] 내 백과사전 Diffie-Hellman의 취약점 : 소수(prime number) 재사용 문제 2016년 12월 18일
[7] 보안뉴스 RSA 암호화 알고리즘에서 인수분해 취약점 발견 2017-10-18 10:56

흥미로운 디오판토스 방정식

해커뉴스[1]에 흥미로운 디오판토스 방정식이 언급되어 있어 포스팅해 봄. ㅋ


나름 퍼즐 문제 좀 잘 푼다고 생각하는 일반인들을 낚기 위해 귀여운 과일 이미지까지 동원하는 이런 사악한-_- 짤방이 돌아다니는 모양인데, 좀 더 수학스러운 형태로 표현하자면 다음과 같다.

\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4의 자연수 해를 구하시오.

경시대회 문제를 자주 봐 왔다면 다음과 같은 표현이 더 친숙할 듯 하다.

\displaystyle \sum_{cyc}\frac{a}{b+c} =4의 자연수 해를 구하시오.

그러나 많은 디오판토스 방정식이 그렇듯이, 보기 쉬워 보인다고 풀기도 쉬운 것은 아니다. ㅋㅋㅋㅋ 들어올 때는 마음대로였겠지만 나갈 때는 아니란다. ㅋㅋ

본인도 쓸데없이 잠깐 풀이를 생각좀 하다가 해설[2]을 봤는데…. 이런…. 똥 밟을 뻔 했다-_- 타원 곡선이 동원되고 난리도 아니구만-_- 참고로 위 방정식의 가장 작은 자연수해는 다음과 같다고 한다.

a = 437361267792869725786125260237139015281653755816161361862143‌​7993378423467772036
b = 368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831‌​37471637224634055579‌
c = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026‌​63489825320203527799‌​9

이거 일전에 세 개의 세제곱수 이야기[3]보다 더 심한거 아닌가? 켁.

4가 아닌 일반적인 값 N에 대한 논의는 2014년의 Bremner와 MacLeod의 논문[4]에 있다. math overflow에도 관련 이야기[5]가 있다. 논문[4]에는 N이 홀수일 때는 자연수해가 없음을 증명하고 있고, 논문 뒤쪽[4;p38]에 N의 값이 각종 짝수일 경우 최소해들의 자리수가 천자리가 넘는 경우를 소개하고 있다. 특히 N=178인 경우 3억9천만 자리가 넘는다고…..-_-

 


2017.8.8
Baez선생도 한 마디 하는 듯… [6] ㅋㅋ

 


[1] https://news.ycombinator.com/item?id=14943528
[2] How do you find the integer solutions to x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=4? in Quora
[3] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[4] A. Bremner and A. Macleod, “An unusual cubic representation problem”, Ann. Math. Inform. 43 (2014), 29-41.
[5] Estimating the size of solutions of a diophantine equation in mathoverflow
[6] https://plus.google.com/+johncbaez999/posts/Pr8LgYYxvbM

어느 산수덕후 아버지의 연하장

일본은 연하장 문화가 꽤 발달해 있다고 하던데, ねとらぼ의 기사[1]에 어떤 사람이 자신의 아버지가 보낸 연하장을 소개[2]하고 있다. ㅋ
c1ifagzveaaqgg9
대충 발번역하면 다음과 같다. (확실하지는 않은데, 일본인들은 편지에서는 친한사이라도 경어를 쓰는 것 같다.)

새해 복 많이 받으세요.
2017(년)+(헤이세이)29 = 21+22+23+24+25+26+27+28+29+210

2017은 세 소수의 3승의 합입니다(73+73+113 = 2017). 세 소수의 3승의 합이 되는 수 중에 2017은 작은 쪽으로부터 세어 30번째로서, 참고로 29번째는 1799( = 53+73+113), 31번째는 2213( = 23+23+133)입니다. 따라서 19세기부터 22세기까지 400년간 세 소수의 3승의 합이 되는 해는 올해 뿐입니다.

와 아버지 대단하군-_- 근데 저 주장이 사실인지 별로 확인해보고 싶지는 않다-_- 술먹고 포스팅하면 만사 귀찮다-_-

참고로 454보다 큰 모든 자연수는 7개의 양수 세제곱수의 합으로 표현가능하다.[3] 음수를 포함한 세 개의 세제곱수로 나타내는 문제[4]도 일전에 소개한 바 있다.

은근히 아무짝에도 쓸데 없는 문제들인데-_-, 이게 만약 실용적으로 쓸모있는 문제가 된다면, smbc만화[5]처럼 패닉을 일으키는 사람도 있지 않을까? ㅋㅋㅋ

 


[1] ねとらぼ 「2017は3つの素数の3乗の和、400年間で今年だけ!」 父から送られてきた年賀状に数学クラスタが沸く 2017年01月05日 14時25分
[2] https://twitter.com/kwd24195/status/815748586663124992/photo/1
[3] 내 백과사전 454보다 큰 모든 자연수는 일곱개 이하의 세제곱수의 합으로 표현가능하다 2016년 1월 20일
[4] 내 백과사전 세 개의 세제곱수 2012년 6월 22일
[5] http://www.smbc-comics.com/?id=4130

골드바흐 추측을 향하여 part 2-1 : The integral over the major arcs

이 포스트는 시리즈 포스팅으로 2013년에 작성을 하다가 중단한 것인데, 영원히 완성할 수 없을 듯 하니, 미완성인 채로 그냥 포스트함.

 


0. definition >
먼저 우리가 적분하려는 arc 내부의 식과 비스무리하게 생긴 식을 만들기 위해 u(\beta)J(N)을 다음과 같이 정의해보자.

\displaystyle u(\beta)=\sum_{m=1}^{N}e(m\beta),\qquad J(N) = \int_{-1/2}^{1/2}u(\beta)^3 e(-N\beta)d\beta

1. lemma >

\displaystyle J(N) = \binom{N-1}{2}

1-1. proof of lemma 1 >

\displaystyle \begin{aligned}J(N) & =\int_{-1/2}^{1/2}u(\beta)^3 e(-N\beta)d\beta \\ & =\int_{-1/2}^{1/2}\sum_{m_1 = 1}^{N}\sum_{m_2 = 1}^{N}\sum_{m_3 = 1}^{N}e((m_1 + m_2 + m_3 -N)\beta)d\beta \\ & =\binom{N-1}{2} \end{aligned}

막판에 등식이 성립하는 이유는 m_1 + m_2 + m_3 -N이 영이면 적분값이 1이 되는데, 이 값이 영이 아니면 적분값이 0이 되기 때문이다. 그러므로 한 자연수를 세 자연수로 토막내는 경우의 수를 세는 문제가 된다.

정리도 증명도 무미건조한 이 정리를 소개하는 이유는 뭘까? 지금은 곤란하다. 조금만 기다려달라. ㅋ

2017학년도 가톨릭대학교 논술 문제 중

2017학년도 가톨릭대학교 논술 문제 중에 divisor function에 대한 문제가 나왔다고 한다. 대략 다음과 같은 형태였다고 한다.

d(n)은 n의 약수의 개수이다. (단, n은 자연수)

\displaystyle a_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}d(k) 이라 정의하자.

[논제 1]
a_M = 3을 만족하는 M의 값을 구하고, n > M일 때 a_n >3인 사실을 설명하시오.

숫자 맞추기 수능만 열라게 파는 고교생들의 상당수는 정수론 문제를 풀 수 없을 것이라 생각하기 때문에, 상당수의 학생이 당황하지 않았을까 생각한다. ㅋㅋㅋ

Apostol 책[1;p57]에는 일전에 소개한 hyperbola method[2]를 이용하여, Divisor summatory function의 asymptotic size가 x log x임을 보이는 부분이 있다. 즉,

\displaystyle \sum_{n \le x} d(n) = x \log x + (2\gamma -1)x + O(\sqrt{x})

여기서 \gammaEuler–Mascheroni constant이다.

참고로 마지막의 O(\sqrt{x})을 improve하는 문제를 Dirichlet’s divisor problem이라고 하는데, 에러텀을 O(x^{\theta+\epsilon})이라고 둘 때, 모든 \epsilon >0에 대해 참인 가장 작은 \theta의 값을 찾는 문제는 아직 해결되지 않았다고 한다. 위키피디아의 Divisor summatory function 항목에 따르면, 현재까지 가장 좋은 결과[3]는 2003년에 나온 \inf \theta \le 131/416 이라고 한다.

여하간 이 사실을 이용하면 비교적 자명한 결과이긴 한데, 닭 잡는 데 소 잡는 칼을 쓰는 것 같아서 좀 그렇다. ㅋㅋㅋ 좀 더 고교생스러운 방법이 있을지 좀 생각해 봤다.

 


일단 노가다로-_- 정답이 M=15 임을 알 수 있다. M=18까지 계산하면 3M과 \sum d(n)의 차가 4 이상 벌어진다. 18 이후의 자연수를 세 개 단위로 그룹을 만들어보자. 각 그룹에는 반드시 2의 배수와 3의 배수가 포함된다.

그룹 안에서 2의 배수와 3의 배수가 다를 경우
2X의 경우 1, 2, X, 2X 로 약수가 적어도 네 개 이상, 3X의 경우도 1, 3, X, 3X으로 그룹 전체 약수의 총 개수는 (남은 한 수가 소수라고 해도) 적어도 2+4+4=10 이상이 된다. 따라서 3M과 \sum d(n)의 차는 더 벌어진다.

그룹 안에서 2의 배수와 3의 배수가 겹칠 경우
6X의 경우 1, 2, 3, 6, X, 2X, 3X, 6X로 여덟 개가 나온다. 따라서 약수의 총 개수는 2+2+8=12 이상이 되므로 3M과 \sum d(n)의 차는 더 벌어진다.

따라서 3M과 \sum d(n)의 차가 4 이상 벌어지면, 각 그룹안에 소수가 두 개 들어 있는 경우가 나타나도 역전되지 않는다.

 


[1] Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3
[2] 내 백과사전 Dirichlet’s hyperbola method 2010년 10월 27일
[3] Huxley, M. N. (2003). “Exponential sums and lattice points III”. Proc. London Math. Soc. 87 (3): 591–609. doi:10.1112/S0024611503014485

파인만의 페르마 마지막 정리에 대한 추정

해커뉴스[1]에서 파인만 선생이 과거에 했다는 흥미로운 계산을 소개[2]하고 있다. 이 글을 읽는 사람 중에 파인만 선생을 모르는 사람은 아마 없을 것이라 생각한다. 일전에 그의 자서전[3]을 읽은 바 있지만, 한 분야의 정점에 이르면서도 동시에 다방면의 다재다능함을 이룩한 역사상 몇 안 되는 사람 중의 하나일 것이다.

그가 와일즈-테일러 정리(a.k.a 페르마의 마지막 정리)와 관련된 계산을 했는 줄은 이번에 처음 알았는데, 이 계산을 소개한 블로거 Luis Batalha씨는 자신의 소개[4]에 의하면 포르투칼 출신의 입자물리학을 연구하는 사람이라고 한다. 일전에 Fermat’s Library를 소개한 적[5]이 있는데, 이 사이트를 만든 사람이라고 한다. ㅎㅎ

Luis Batalha씨의 글[2] 따르면 Silvan S. Schweber가 쓴 책[6]에 날짜를 확인할 수 없는 파인만의 manuscript를 소개하고 있는데, 파인만은 1988년에 별세했고, 와일즈와 테일러의 정리는 1994년에 발표되었으므로 어쨌든 그의 계산은 당대에 아직 미해결인 상태에서 이루어진 것이다.

아래 계산은 마지막 본인의 계산을 제외하면 모두 위 소개한 블로그 [2]에 나와 있는 내용이므로 부족하면 원문을 참고하기 바란다.

 


먼저, 어떤 큰 자연수 N에 대하여 n-거듭제곱 수 일 “확률”을 계산해 보자. 해커뉴스[1]의 댓글 중에 사실 n-거듭제곱수는 이미 결정되어 있는데 여기서 “확률”의 의미가 뭐냐고 묻는 사람이 있는데, N 이하의 모든 자연수가 균일하게 선택 가능성이 있다는 가정하에 n-거듭제곱수가 선택될 가능성을 뜻한다고 봐야 하지 않을까 싶다.

그 “확률”을 계산하기 위해, 두 개의 세제곱근의 거리인 \sqrt[n]{N+1}-\sqrt[n]{N}을 이용한다.

\displaystyle \begin{aligned}d & = \sqrt[n]{N+1}-\sqrt[n]{N} \\ & =\sqrt[n]{N}\left(\sqrt[n]{1+ \frac{1}{N}} -1 \right) \\ & =\sqrt[n]{N}\left( \left( 1+ \frac{1}{n}\frac{1}{N}+ \frac{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-1\right)}{2}\frac{1}{N^2}+\cdots\right)-1\right) \end{aligned}

물론 위 계산에서 taylor expansion (1+x)^k = 1+ kx +\cdots를 이용했다. 어쨌든 N이 충분히 크다면, 쿨하게 뒤쪽 항을 날려버리고 ㅋㅋ 위 결과는 근사적으로

\displaystyle d \approx \frac{\sqrt[n]{N}}{nN}

이 됨을 확인할 수 있다. 여기서 파인만은 아무 설명없이 N이 n-거듭제곱수가 될 확률은 \frac{\sqrt[n]{N}}{nN}이라고 써 놓았다고 한다. 그 이유에 대해 Luis Batalha씨가 설명[2]을 해 놓고 있다. 만약 N이 n-거듭제곱수가 되려면 구간 \sqrt[n]{N}, \sqrt[n]{N+1}에 적어도 한 개의 정수 (즉, \sqrt[n]{N})이 있게 된다. 임의의 두 연속한 정수의 간격은 1이므로 구하고자 하는 확률은 \frac{d}{1}이 되는 것이다.

이제 와일즈-테일러 정리로 돌아가서 N= x^n +y^n이 n-거듭제곱수가 될 확률은 \frac{\sqrt[n]{x^n + y^n }}{n(x^n +y^n )}이 된다. 물론 특정 x, y가 성립할 확률이므로 모든 x > x_0y > y_0에 대해 이 확률의 총합을 구해야 한다. 그러므로 실제로는 이중 무한급수의 합을 계산해야 하는데, 여기서 파인만은 무한급수 대신 다루기 쉬운 적분으로 대략 합의를 본다. ㅋ 또 파인만은 x_0 = y_0라고 두는데 즉,

\displaystyle \int_{x_0}^{\infty}\int_{x_0}^{\infty}\frac{1}{n}(x^n + y^n )^{-1+\frac{1}{n}}dx dy = \frac{1}{nx_0^{n-3}}c_n
여기서, \displaystyle c_n = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}(u^n +v^n )^{-1+\frac{1}{n}}du dv

라고 쓴다. 이 결과는 Luis Batalha씨가 계산[2]했듯이 Jacobian을 계산하여 변수치환하면 얻을 수 있는 결과인데, 실제로는

\displaystyle c_n = \int_{1}^{\infty}\int_{1}^{\infty}(u^n +v^n )^{-1+\frac{1}{n}}du dv

이 된다고 한다. 여기서 Luis Batalha씨는 파인만이 계산실수를 한 것이 아닌가 하고 생각하는 듯. 뭐 본인은 귀찮아서 검산 안 해봤다-_-

여하간 이 대목에서 우리는 2 이상의 모든 자연수에 대해 x^n +y^n이 n-거듭제곱수인지 확인해야 하므로 x_0 =2를 대입한다. 그러면 확률 \frac{1}{n2^{n-3}}\int_{1}^{\infty}\int_{1}^{\infty}(u^n +v^n )^{-1+\frac{1}{n}}du dv은 n=4 정도만 돼도 0.1근방으로 낮게 형성되는데, n이 커질 수록 급속히 떨어져서 n=10정도 되면 거의 남지 않게 된다.

모든 자연수 n에 대해 와일즈-테일러 정리의 반례가 나올 확률은 어느 정도일까? 파인만은 이미 소피 제르맹의 결과를 알고 있었다고 한다. 그 결과인 즉슨, 소피 제르맹이 100이하의 지수에 대해 와일즈-테일러 정리의 반례가 없음을 얻은 결과라고 하는데, 해커뉴스의 댓글[1]에 누군가가 왜 하필 100이냐? 100에 무슨 특징이 있는거냐? 하고 묻길래 본인이 찾아보니 Harold Edwards 선생의 책[7]에 설명이 잘 돼 있다. 몇몇 트리키한 lemma를 이용해서 n=100까지 노가다를 한 것 같다-_-

이 대목에서 Luis Batalha씨는 독자의 연습문제로 충분히 큰 n에 대해 c_n \approx \frac{1}{n}을 제시하는데, 이게 어떻게 나온건지 본인의 짧은 머리로 통밥을 좀 굴려봤다. ㅋㅋㅋ

n이 크면 지수인 -1+ \frac{1}{n}은 어쨌건 음수이므로 AM-GM inequality를 이용하여

\displaystyle \begin{aligned} c_n & \le \int_{1}^{\infty}\int_{1}^{\infty}(2(uv)^{\frac{n}{2}})^{-1+\frac{1}{n}}du dv \\ & = 2^{-1+\frac{1}{n}} \int_{1}^{\infty}\int_{1}^{\infty} (uv)^{\frac{1-n}{2}}du dv \\ & = 2^{-1+\frac{1}{n}} \left(\frac{2}{n-3}\right)^2\end{aligned}

가 되어, Luis Batalha씨는 어떻게 계산했는지 모르겠지만, 그가 제시한 근사보다 더 영에 가까운 좋은 근사가 되는 것 같다-_-

여하간 이 결과를 가지고 100이후로 모든 지수에 대한 무한급수를 계산해야 하지만 여기서 다시 파인만 선생은 적분을 선택하여 확률의 총합을 구하면

\displaystyle \int_{100}^{\infty}\frac{1}{n^2 2^{n-3}}dn \approx 8.85 \times 10^{-34}

가 된다. 이것은 무지막지하게 낮은 확률이므로 파인만 선생은 “내 생각에는(for my money) 페르마의 마지막 정리는 참이다”라고 말했다고 한다. for my money라는 숙어는 처음 알았다-_-

전반적으로 수학적 엄밀성과는 상당히 거리가 먼 계산이지만, 역시 물리학자답게 간명하면서도 실용적 결론이라 할 수 있겠다. 일전에 Heath-Brown 선생의 density에 대한 계산[8]도 소개를 했지만, 와일즈-테일러 정리의 발표 이전에도 반례는 아마 없을 것이라는 간접적 증거가 쌓여 있었다. 와일즈-테일러 정리의 반례가 발견되었더라면, 수학계에 그보다 더 큰 놀라움은 없었을 터일 것이었다.

 


[1] https://news.ycombinator.com/item?id=12018221
[2] Feynman on Fermat’s Last Theorem by Luis Batalha
[3] 내 백과사전 [서평] 파인만! : 파인만 서거 20주년 기념 특별판 2010년 12월 16일
[4] http://www.lbatalha.com/about/
[5] 내 백과사전 새로 생긴 수학 사이트 두 개 2015년 9월 16일
[6] Silvan S. Schweber, QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, 1994
[7] Harold M. Edwards, Fermat’s Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, 3rd edition. Graduate Texts in Mathematics (Book 50), Springer, 2000
[8] 내 백과사전 “거의 모든” 지수에 관한 페르마의 마지막 정리 2010년 12월 27일